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Système d'unités du corps noir

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Article général Pour un article plus général, voir Corps noir.

En physique, le corps noir est un simple four avec une toute petite ouverture. Cette ouverture laisse passer un rayonnement électromagnétique, caractéristique, décrit par Max Planck. Le corps noir peut aussi être décrit comme un gaz de photons à l'équilibre thermodynamique dans une enceinte fermée de température T.

Les deux lois principales sont :

  • l'intensité varie comme T4, appelée loi de Stefan,
  • le maximum de cette intensité a lieu pour la fréquence, <math>h\nu_m = \hbar \omega_m = 3 kT</math>, appelée loi de Wien du corps noir.

Déduction des trois unités élémentaires

  • masse m telle que <math>mc = kT</math> (ce qui ne veut pas dire du tout que le photon ait une masse).
  • fréquence f telle que <math>hf = kT</math>
  • vitesse : c

Les autres unités

On demande souvent l'énergie des photons contenue dans le volume V :

<math>\frac{U}{V} = d\cdot u\cdot [kT,\hbar,c] = \frac{(kT)^4}{\hbar^3 c^3}</math>

le résultat exact du calcul, via la loi de Planck est : multiplier par <math>\frac{\pi^2}{15}</math>

<math>\frac{U}{V} =\frac{\pi^2}{15} \frac{(kT)^4}{\hbar^3 c^3}</math>
Loi exacte de Stefan

Comme pour tous les corps relativistes en dimension trois, la pression vaut <math>P =\frac13 \frac U V </math>. Donc l'enthalpie <math>H = U + PV </math> vaut <math>\frac 4 3 U</math>.

Loi d'émission de Stefan

On demande souvent la puissance lumineuse en watts qui sort de la petite ouverture. La réponse est évidemment que s'il y a deux ouvertures identiques, il sort 2 P. On donne donc la puissance émise par unité de surface. Par analyse dimensionnelle, P/S est U/V · c Le résultat exact est : U/V (c/4).

<math>P/S =\frac{\pi^2}{60} \frac{(kT)^4}{\hbar^3 c^2}= \sigma T^4</math>
Loi exacte d'émission de Stefan

Application pour l'effet de serre

Le Soleil est considéré comme un corps noir émettant P = 4×1026 watts par sa surface 4πR2 avec R ~700000 km : ceci permet de calculer la température de surface du corps noir correspondant, Ts = 5700 K.

Pour n'importe quel corps noir sphérique situé à d = 150×106 km, la température d'équilibre sera :

<math> T(d) = T_s \cdot \frac{1}{\sqrt 2}\cdot \frac{R^2}{d^2}</math>

La Terre ayant un albédo moyen de 0,30, la température est en fait de 255 K (soit −18 °C).

La Terre reçoit 341342 W/m2 en moyenne (évidemment l'équateur reçoit plus que les pôles. C'est le rééquilibrage de cette réception différentielle qui crée : les vents, puis les courants marins).

D'autre part, l'effet de serre joue, et la température moyenne de la Terre est 1=255 + 33 = 288 K, soit 33 K de plus par effet de serre. Celui-ci ne cessant d'augmenter par production de dioxyde de carbone, l'océan s'évapore plus et le cycle de la pluie se trouve être plus rapide : il neige donc un peu plus en Antarctique, comme on peut le constater aisément depuis 20 ans[alpha 1].

Loi de Wien

Rappel de l'énoncé de la loi de Wien : le rayonnement émis par le four est nul aux basses fréquences et aux hautes fréquences. Il passe par un maximum pour une fréquence f dite fréquence de Wien variant linéairement avec la température absolue T.

L'analyse dimensionnelle donne immédiatement <math> h f = kT</math>.

Le résultat exact donné par la loi de Planck en fréquence est <math>h f = b kT </math>; la valeur numérique b est telle que : <math>b = 3(1-e^{-b})</math>, soit <math>b = 2{,}822\cdots</math>

<math> h\cdot f_{Wien} = b \cdot kT ; b = 3(1-e^{-b})</math>
Loi exacte du maximum d'émission de Wien
  • Si l'on compare avec la courbe de sensibilité des cônes et des bâtonnets de la rétine, on trouve que l'œil humain a subi une adaptation à ce créneau du "visible" (pour nous). Les chats ont des habitudes de chasse différentes et donc une autre adaptation. De même, dans l'eau, les animaux rouges se camouflent mieux. L'étude de la vue des rapaces montre aussi une remarquable adaptation.
  • Remarque : on n'obtient pas la même valeur de b en prenant la loi de Planck en longueur d'onde, comme on pourra aisément le vérifier en regardant l'article corps noir. C'est un piège usuel en théorie des densités de probabilités.

Thermodynamique du corps noir

Le nombre de photons par unité de volume est d.u.[kT, <math>\hbar</math>, c] = <math>\left(\frac{kT}{\hbar c}\right)^3</math>.

Pour le calcul exact, multiplier par <math>\frac{2\zeta (3)}{\pi^2}= 0{,}244</math>

Ainsi la loi du gaz de photons est remarquable de simplicité :

<math> PV = N \cdot kT \cdot \frac{\zeta (4)}{\zeta(3)}</math>
Équation d'état exacte du gaz de photons

(pour mémoire, on rappelle que la fonction zêta ζ(s) de Riemann vaut 1,2020… pour s = 3 et <math>\frac{\pi^4}{90}</math> pour s = 4).

  • Si l'on dilate lentement et réversiblement le volume d'un corps noir, chaque longueur d'onde subit l'effet Doppler, sans qu'il y ait variation du nombre de photons dans chaque mode propre : c'est dire que l'entropie S varie comme <math>V(kT)^3</math> :

très exactement <math>G = H-TS = 0</math> pour un corps noir.

<math>U = aVT^4 = \frac{1}{3} PV = \frac{1}{4} TS</math>
Thermodynamique du corps noir

Application au fond diffus cosmologique

Penzias et Wilson ont reçu le prix Nobel en 1978 pour avoir détecté ce rayonnement prévu par Gamow. Lors du Big Bang, l'univers s'est dilaté et la température a baissé et la formation d'atomes (H+) + (e-) ⟶ H a pu se produire. Il s'est produit alors découplage entre matière neutre et rayonnement.

Depuis, le nombre de photons "fossiles" n'a plus varié.

Le prochain satellite Planck, qui prendra la suite de COBE (cf. Cosmic Background Explorer, et Nobel 2006 : John C. Mather & George Smoot) et de W_MAP, donnera la température de ce rayonnement avec une précision de 1×10-6 K, ce qui permettra de voir encore mieux les légères perturbations au moment du "découplage matière-rayonnement" quand les premiers atomes se sont formés. La température actuelle est 2,7283 K environ (cf. laboratoire du LERMA, observatoire de Paris).

Conclusion

En fait, on a escamoté ici la loi de Planck (cf. corps noir) et tout son historique passionnant. Mais on peut justement montrer comment Planck a réussi à surmonter la contradiction apparente entre la loi de Wien (1896) pour les grandes fréquences et la loi de Jeans-Rayleigh pour les petites : cette subtile analyse est due à Alfred Kastler et mériterait qu'on la publie ici. Superbe aussi est l'analyse de Richard Feynman du (n+1)_émis.n(A_excité) pour n_absorbé.n(A_fondamental), qui résume l'essentiel de cette formidable saga scientifique.

L'analyse de la physique en termes simples comme ont su le faire John Archibald Wheeler et Victor Weisskopf et Mr Tompkins (George Gamow), permet ainsi de comprendre beaucoup avec peu de moyens.

Notes et références

  1. Dans les autres parties du monde c'est vérifié aussi, mais en moyenne seulement : il vaut mieux considérer des climats très stables, pour ne pas mélanger trop de variables. Les rapports successifs du GIEC sont d'ailleurs exemplaires pour la prudence de leurs affirmations prudentes.

Voir aussi

Pour l'analyse dimensionnelle via les systèmes d'unités adéquats, voir par exemple : cours de l'ENS (Stephan Fauve), ou hydrodynamique de Guyon, ou cours Moffatt (microhydrodynamics), ou la référence historique : Saint-Guilhem (Eyrolles 1971), et Vaschy : Annales télégraphiques, 1892 où est rédigé le théorème PI de Vaschy-Buckingham. Toutes ces questions d'analyse sont développées dans :

  • Sedov, analyse dimensionnelle, ed MIR)
  • Barenblatt (dimensional analysis) qui sont les sources du cours S. Fauve.

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