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Théorie des nombres élégants

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Le premier nombre disgracieux.

La théorie des nombres élégants est un domaine de recherche majeur de la théorie des nombres moderne.[Information douteuse] [?] Elle a pour but d'étudier l'élégance d'un nombre entier naturel[1] par l'examen de l'intérêt de ses propriétés. De nombreux chercheurs ont longuement étudié les différents nombres dans leur ordre croissant afin de déterminer le plus petit nombre ne répondant pas aux propriétés d'élégance d'un nombre. Au stade actuel de la recherche, 46 est considéré comme le premier nombre disgracieux, ce qui signifie non élégant.

Histoire

L'intérêt pour la théorie des nombres élégants commence en 2015. Une équipe de chercheurs de l'EPFL[Laquelle ?] s'était alors réunie pour un congrès[réf. nécessaire] sur le futur de la théorie des nombres. Ils venaient de terminer un projet visant à simplifier la résolution de certaines équations diophantiennes. Ils se sont donc penchés sur un nouveau problème qui n'a aujourd'hui encore pas trouvé de solution définitive.

Les premiers travaux durèrent un peu plus d'un mois et conclurent au caractère disgracieux de 33. Cependant, début juin 2016, une source extérieure a démontré l'élégance de 33 en utilisant des sommes factorielles auxquelles les premiers mathématiciens n'avaient pas pensé. Le dossier a donc été rouvert et les recherches ont continué. Ce n'est que le premier juillet 2016 que les mathématiciens ont rendu leur verdict. Il s'agit des dernières recherches en date qui aboutissent à la disgrâce de 46.

Justifications existantes

Une liste de quelques justifications figure dans les articles concernant ces nombres :

Le nombre 46

Malgré une semaine de travaux sur ce nombre[Information douteuse] [?], les mathématiciens présents n'ont pu trouver aucune justification satisfaisante de l'élégance du nombre 46. Il a donc été conclu que 46 est le premier nombre disgracieux, jusqu'à preuve de son élégance. Certains arguments insatisfaisants ont toutefois été trouvés, mais aucun n'a été validé par la majorité du congrès.

Arguments invalidés

1) <math>3^0+3^1+3^2+3^3+3!=46</math>

2) <math>\sum_{i=1}^3 (4-i)(2i-1)^2= </math>

<math>1^2+</math>

<math>1^2+3^2+</math>

<math>1^2+3^2+5^2 = 46</math>

3) <math>\sum_{i=1}^4 \biggl(i\times\prod D(i)\biggr)=1\times1+2\times2+3\times3+4\times4\times2=46</math>, <math>D(x)</math> désignant les diviseurs de <math>x</math>.

4) Somme du produit des trois premiers nombres premiers avec le terme correspondant dans la suite des nombres pairs non nuls.

<math>2\times2+3\times4+5\times6=46</math>

5) <math>\sum_{i=1}^2 2i^2(2i+1)=2\times3+8\times5=46</math>

6) 46 est triangulaire centré. <math>1+3+6+9+12+15=46</math>

Controverses

Malgré l'intérêt certain[Information douteuse] [?] que génère la théorie des nombres élégants, il y existe plusieurs controverses.

Controverse des groupes cycliques

Quelques mathématiciens[Lesquels ?], bien que sérieux[réf. nécessaire], considèrent qu'un nombre semi-premier est élégant. En effet, étant donné que chacun de ces nombres engendre un groupe cyclique, ils sont reconnus par certains. Cependant, cet argument, trop proche de l'algèbre, est assurément trop éloigné de la théorie des nombres, en particulier du sujet ci-traité.

Controverse des partisans du 46

Certains membres[Lesquels ?] du groupe d'étude[réf. nécessaire] et quelques intervenants extérieurs[Lesquels ?] estiment qu'un ou plusieurs des arguments ci-rejetés pour 46 devraient être considérés comme valables. Pour cette raison, l'un[Lequel ?] des membres du groupe s'est distancié du travail d'étude et se concentre à nouveau sur les équations diophantiennes. Une large partie de la communauté mathématique[réf. nécessaire] rejette cette idée et cherche encore un argument accepté de tous.

Controverse dite du numérologue[réf. nécessaire]

Une forte coalition de physiciens[Qui ?] fustige la théorie, estimant qu'elle fait plus partie du domaine de la numérologie plutôt que de la théorie des nombres. Toutefois, une étude plus poussée montre une solide contradiction entre ces deux théories, en particulier au niveau du nombre 46. En effet, la théorie des nombres élégants place le nombre 46 en une disgrâce non voilée, alors que la numérologie occidentale lui attribue des significations bien plus avenantes[2].

Paradoxe de la disgrâce

Un mathématicien et philosophe[3] proche du groupe s'est dès l'aube du projet élevé contre ses fondements. Pour lui, il existe au premier nombre disgracieux (en l'occurrence 46) une propriété le rendant élégant : sa qualité de plus petit nombre disgracieux. Cette vision des choses mène à un paradoxe, l'élégance naissant de la disgrâce alors que la disgrâce est précisément l'inélégance. Ainsi, d'après ce penseur, la théorie des nombres élégants est viciée dans ses fondements et n'a pas lieu d'être. Le projet a donc été mené en faisant fi de cet argument, afin de contourner le paradoxe. Le fait d'être le premier nombre disgracieux n'est donc pas considéré comme un critère d'élégance.

Références

  1. Paul Hoffman (en), Erdős, l'homme qui n'aimait que les nombres (en), Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1), traduit de : (en) The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion, 1992
  2. « Signification du nombre 46 », sur www.01numerologie.com (consulté le 7 juillet 2016).
  3. (en) John Francis, Philosophy Of Mathematics, Global Vision Publishing Ho, 2008 (ISBN 978-8-18220267-2)

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