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Autosuite de nombres

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Définition

Autosuite de nombres

Une autosuite de nombres est une suite dont les termes de la transformée binomiale inverse sont égaux aux termes de la suite, au signe près. Cette notion semble n'avoir jamais été étudiée.

Transformée binômiale

Soit la suite de nombres an avec n=0,1,2,... suivie de lignes dont les termes sont égaux à la différences des termes de la suite de la ligne du dessus.

a0 a1 a2 a3
a1 − a0 a2 − a1 a3 − a2 a4 − a3
a2 − 2 a1 + a0 a3 − 2 a2 + a1 a4 − 2 a3 + a2 a5 − 2 a4 + a3
a3 − 3 a2 + 3 a1 − a0 a4 − 3 a3 + 3 a2 − a1 a5 − 3 a4 + 3 a3 − a2 a6 − 3 a5 + 3 a4 − a3

La première colonne est appelée transformée binômiale inverse de an. Réciproquement an est la transformée binômiale de la première colonne.

Dans chaque ligne on retrouve, avec les signes alternés, les coefficients du binôme de Pascal.

La suite a0, a2 - a1, a4 - 2 a3 + a2, a6 - 3 a5 + 3 a4 - a3 est la diagonale principale.

Autosuite de première espèce

On appelle autosuite (de nombres) de première espèce toute suite dont la diagonale principale du tableau des différences ne comporte que des zéros, c'est-à-dire la première ligne de :

0 a0 a0 a0 + a1 a0 + 2 a1 = Sn
a0 0 a1 a1 a1 + a2
−a0 a1 0 a2 a2
a0 + a1 −a1 a2 0 a3
−a0 − 2 a1 a1 + a2 −a2 a3 0

an est située aux deux premières diagonales supérieures ainsi qu'à la première diagonale inférieure.

La première colonne est la suite Sn avec alternativement des signes − et +, d'où le nom d'autosuite (en anglais autosequence, mentionné dans le site OEIS, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, créé par Neil Sloane[1]). Après 0, les coefficients de Sn sont représentés par la suite OEISA011973 de l'OEIS.

Autosuite de seconde espèce

Une autosuite de seconde espèce a pour première colonne la suite Sn avec alternativement des signes + et −. C'est le tableau

2a0 a0 a0 + 2 a1 a0 + 3 a1 a0 + 4 a1 + 2 a2 = Tn
−a0 2 a1 a1 a1 + 2 a2 a1 + 3 a2
a0 + 2 a1 −a1 2 a2 a2 a2 + 2 a3
- a0 − 3 a1 a1 + 2 a2 −a2 2 a3 a3
a0 + 4 a1 + 2 a2 −a1 − 3 a2 a2 + 2 a3 −a3 2 a4

On voit qu'une autre définition d'une autosuite de seconde espèce consiste à prendre pour diagonale principale le double de la première diagonale supérieure. La première ligne a pour coefficients des an la suite OEISA034807.

On passe aisément d'une autosuite de première espèce à la suite correspondante de seconde espèce par Tn = 2 × Sn+1 − Sn. Pour Sn à partir de Tn : S0=0, <math>S_n = (S_{n-1} + T_{n-1}) / 2 = (\sum_{k=0}^{n-1} 2^k\times T_k)/ 2^n</math>(voir la page d'autosequence du Wiki OEIS[2]). On peut construire des autosuites à espèce alternée. Il s'agit du tableau décalé :

0 a0 a0 a0 + a1 a0 + 2 a1
0 0 2 a0 3 a0 4 ( a0 + a1 ) 5 ( a0 + 2 a1 )
0 0 0 6 a0 12 a0 20 ( a0 + a1 ) 30 ( a0 + 2 a1 )
0 0 0 0 24 a0 60 a0 120 ( a0 + a1 ) 210 ( a0 + 2 a1 )

Il part de l'autosuite de première espèce Sn. La deuxième ligne s'obtient en écrivant 0 suivi de (n+1) × Sn. C'est une autosuite de seconde espèce. On continue de la même façon. Les coefficients de a0 lus par diagonales descendantes sont représentées par la suite OEISA181511.

Par extrapolation on obtient l'autosuite de seconde espèce fractionnaire Sn+1 / (n+1) .

Exemples

Suite de Fibonacci

Les nombres de Fibonacci OEISA000045(n) sont une autosuite de première espèce. L'autosuite de seconde espèce la précédant, OEIS A000045 (http://oeis.org/A000045)(n+1) / (n+1) = 1, 1/2, 2/3, 3/4, 1, 4/3, 13/7, 21/8, 34/9, 11/2, ... , est OEIS A270312 (http://oeis.org/A270312)(n+1) / OEIS A270313 (http://oeis.org/A270313)(n+1). Le correspondant de OEIS A000045 (http://oeis.org/A000045)(n) est OEIS A000032 (http://oeis.org/A000032)(n) et réciproquement.

Les nombres d'Oresme n/2n, qui sont une autosuite de première espèce, semblent les plus anciens après ceux de Fibonacci. L'autosuite correspondante de seconde espèce est 1/2n.

Le plus simple tableau à autosuites alternées est :

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 6 12 20 30 42 56 72

La première ligne est la suite de Leibniz (voir OEIS A003506 (http://oeis.org/A003506)). La deuxième ligne est OEIS A060576 (http://oeis.org/A060576)(n+1). La troisième ligne est OEIS A199969 (http://oeis.org/A199969). La diagonale principale est OEIS A001761 (http://oeis.org/A001761).

Autre tableau d'autosuites alternées :

1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128
0 1/2 1/2 3/8 1/4 5/32 3/32 7/128
0 0 1/4 3/8 3/8 5/16 15/64 21/128
0 0 0 1/8 1/4 5/16 5/16 35/128
0 0 0 0 1/16 5/32 15/64 35/128
0 0 0 0 0 1/32 3/32 21/128
0 0 0 0 0 0 1/64 7/128

La première ligne est 2−n.

La seconde ligne correspond aux nombres d'Oresme O(n)=n × 2−n.

La troisième ligne est ( n×(n−1)/2 ) × 2−n (voir OEIS A069834 (http://oeis.org/A069834)).

La quatrième ligne est ( n×(n−1)×(n−2)/3! ) × 2−n.

La somme des colonnes est toujours 1. Sans les zéros, les colonnes sont les fractions OEIS A007318 (http://oeis.org/A007318)/OEIS A137688 (http://oeis.org/A137688) réduites.

La somme des antidiagonales est OEIS A001045 (http://oeis.org/A001045)(n+1)/2n. Les numérateurs sont les nombres de Jacobstahl positifs [1]

Les diagonales sont,à partir de la deuxième,identiques aux lignes sans les zéros.

La première ligne est aussi la diagonale principale.

Algorithme d'Akiyama-Tanigawa

Les deux premières lignes sont :

a0 a1 a2 a3 a4 ...
a0 - a1 2 *(a1-a2) 3 * (a2 - a3) 4 * (a3 - a4) 5 * (a4 - a5) ...

On continue de façon analogue. La première colonne est la transformée d'Akiyama-Tanigawa de an. Les second nombres de Bernoulli OEIS A164555 (http://oeis.org/A164555)(n)/OEIS A027642 (http://oeis.org/A027642)(n) sont la transformée d'Akiyama-Tanigawa de 1/(n+1), n = 0, 1, 2, ... . La transformée d'Akiyama-Tanigawa d'une autosuite est une autosuite de meme espèce. Voir OEIS A050946 (http://oeis.org/A050946). Ainsi OEIS A046878 (http://oeis.org/A046878)(n)/OEIS A046879 (http://oeis.org/A046879)(n), dont la transformée d'Akiyama-Tanigawa est 0, -1, -1, 0, 1, 0, -3, ... = OEIS A226158 (http://oeis.org/A226158)(n), nombres de Genocchi, autosuite de première espèce, est une autosuite de première espèce. L'autosuite correspondante (ou compagne) de seconde espèce est 2, 1, 2/3, 1/2, 2/5, 1/3 = 2/(n+1). Ainsi, par les seconds nombres de Genocchi, les seconds nombres de Bernoulli sont aussi liés à 2/(n+1), autosuite de seconde espèce.

Autres obtentions d'autosuites

Soient la suite a(n) et sa transformée binomiale inverse b(n).

L'alternance de leurs différences et de leurs sommes crée une autosuite de première espèce.

L'alternance de leurs sommes et de leurs différences crée une autosuite de seconde espèce.

Exemple : soit a(n) = 1 suivi du chiffre 3 répété indéfiniment (OEIS A122553 (http://oeis.org/A122553)). On obtient d'abord l'autosuite de première espèce 5*OEIS A057427 (http://oeis.org/A057427), OEIS A057427 (http://oeis.org/A057427) est l'autosuite de première espèce la plus élémentaire. Puis OEIS A054977 (http://oeis.org/A054977).

Pour OEIS A027641 (http://oeis.org/A027641)(n)/OEIS A027642 (http://oeis.org/A027642)(n), on obtient la suite de première espèce -OEIS A254667 (http://oeis.org/A254667)(n) et pour OEIS A198631 (http://oeis.org/A198631)(n)/OEIS A006519 (http://oeis.org/A006519)(n+1) avec OEIS A198631 (http://oeis.org/A198631)(1) = -1 au lieu de 1 on obtient la même suite. Pour les suites correspondantes de seconde espèce les résultats sont fractionnaires et différents.

Pour OEIS A027641 (http://oeis.org/A027641)(n)/OEIS A027642 (http://oeis.org/A027642)(n), on obtient la suite de deuxième espèce Trb(n) = 2, 1, 7/3, 3, 59/15, 5, 127/21, 7, 119/15, 9, 335/33, 11, 15689/1365, 13, ... de dénominateurs OEIS A141459 (http://oeis.org/A141459)(n). La diagonale principale est 2, 4/3, 4/15, -16/105, 16/105, -64/231 de dénominateurs OEIS A181131 (http://oeis.org/A181131)(n).

Tout ceci peut s'obtenir à l'aide de deux triangles appliqués au triangle a(0), a(0), a(1), a(0), a(1), a(2), a(0), a(1), a(2), a(3), ... . Le premier est

0
-1 2
-1 2 0
-1 3 -3 2
-1 4 -6 4 0
-1 5 -10 10 -5 2

Ce triangle est aussi OEIS A140575 (http://oeis.org/A140575)(n), lu de droite à gauche, et aussi OEIS A255935 (http://oeis.org/A255935)(n), dont le texte devra être modifié, avec des signes -. Voir OEIS A135356 (http://oeis.org/A135356)(n). Par multiplication, on obtient les suites de première espèce.

Pour les suites de seconde espèce le triangle est :

2
1 0
1 -2 2
1 -3 3 0
1 -4 6 -4 2
1 -5 10 -10 5 0

C'est OEIS A277078 (http://oeis.org/A277078).

On a aussi le triangle, appelé Jal1, qui crée des autosuites de première espèce :

0
0 1
0 1 0
0 1 -1 1
0 1 -2 2 0
0 1 -3 4 -2 1

Ce triangle s'obtient par une colonne de zéros suivie du triangle OEIS A220074 (http://oeis.org/A220074). La somme de ses lignes est la suite OEIS A057427 (http://oeis.org/A057427), la plus simple autosuite de première espèce, alors que la somme de la valeur absolue de ses lignes est la suite OEIS A001045 (http://oeis.org/A001045), autre autosuite de première espèce.

Pour cette même suite de Jacobstahl OEIS A001045 (http://oeis.org/A001045) écrite sous la forme dite parfois réluctante 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 3, ... on obtient par multiplication du triangle Jal1 la suite elle-même.

L'autosuite de première espèce 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... est la transformée binomiale inverse de OEIS A045618 (http://oeis.org/A045618)(n) précédée de 0, 0, 0.

Notes et références

  1. « OEIS » (https://oeis.org/?language=french)
  2. (en) Jean-François Alcover, « Autosequence » (https://oeis.org/wiki/Autosequence), OEIS Wiki, (consulté le )

Voir aussi

Liens internes

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