Exponentiation Bachkat
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L'exponentiation est une opération, comme l'addition ou la multiplication, consistant à mettre en puissance un nombre par un autre nombre. L’exponentiation Bachkat est une formule matricielle qui permet le calcul des puissances entières, rangées dans une matrice, à partir du triangle de Pascal et de la matrice de Bachkat.
Présentation
Mohamed Bachkat est un ingénieur ENSIIE et inventeur français d'origine algérienne[1]. Il découvre en 1998 une formule matricielle entre le triangle de Pascal et la matrice des puissances entières rangées en colonne. Grâce à un ami de sa promotion, Fréderic Kerloch, il trouve des applications dans le cœur d'Arithmétique et dans le chiffrement. Il dépose 2 brevets[2]. Le premier lui permettra d'être lauréat du concours Lépine en 2005[3] et talent des cités en 2007[4].
Formule(s)
La formule est matricielle et elle s'écrit Puis=Pas*Bac,
- avec Puis la matrice des puissances entieres rangées en colonne : Puisi,j=ij,
- avec Pas la matrice triangulaire inférieure représentant le triangle de Pascal,
- avec Bac la matrice de Bachkat, matrice triangulaire supérieure qui se construit de différente façon.
Il est donné ici les premiers termes des matrices :
Matrice des binomiaux Pas :
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Matrice de Bachkat Bac :
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 2 | 6 | 14 | 30 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 6 | 36 | 150 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 24 | 240 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 120 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Matrice des puissances entières Puiss :
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 3 | 9 | 27 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 4 | 16 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 5 | 25 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 6 | 36 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 7 | 49 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 8 | 64 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 9 | 81 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 10 | 100 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 11 | 121 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 1 | 12 | 144 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Comme la matrice Pas est triangulaire inférieure et la matrice Bac supérieure, le nombre de multiplications est égal au minimum de la base et de l'exposant de la puissance entière, ce qui est intéressant quand on a l'exposant très grand par rapport à la base. Les multiplications entre coefficients sont indépendants. On peut donc paralléliser le calcul et faire du multithreading ou utiliser des systèmes multiprocesseurs.
De plus sur la diagonale de la matrice de Bachkat, on a les factorielles.
Et comme autre formule, on a les séries de puissances en supprimant la première colonne de la matrice Pas et en effectuant le même calcul.
Notes et références
- ↑ http://www.franceinfo.fr/chroniques-itineraires-2007-09-23-mohamed-bachkat-le-boss-des-maths-13456-81-155.html
- ↑ http://fr.espacenet.com/searchResults?ST=singleline&compact=false&query=bachkat&locale=fr_FR&DB=fr.espacenet.com
- ↑ http://lepine.siteo.com/fr/mpg4-211233--Concours-Lepine-International-Paris-2005-2-3.html
- ↑ http://www.senat.fr/evenement/talents_cites/2007/palmares2.html
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