Nombre complexe (mathématiques élémentaires)

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Modèle:MathématiquesÉlémentaires Un nombre complexe peut être vu :

  • comme un nombre, extension des nombres réels grâce à l'adjonction d'un terme noté « i » et tel que :
i 2 = -1 ;
  • comme un point ou un vecteur du plan, ou plus exactement comme le couple de leurs coordonnées (ou affixe) dans un repère donné;
  • ou comme une application linéaire particulière du plan, appelée similitude, ou plus exactement sa matrice dans une base donnée.

On note <math>\mathbb{C}</math> l'ensemble des nombres complexes.

Présentation des nombres complexes

Les nombres complexes, notés habituellement z,, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :

  • forme algébrique : <math> z = x + iy \,</math>
  • forme vectorielle cartésienne : <math> z = ( x , y ) \,</math>
  • forme vectorielle polaire : <math> z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta \,</math>
  • forme trigonométrique : <math> z = \rho . ( cos \theta + i . sin \theta ) \,</math>
  • forme géométrique : <math> z = \rho.e^{i\theta} \,</math>
  • forme matricielle : <math> Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \,</math>

Présentation algébrique <math> z = x + iy \,</math>

Introduction

Les nombres négatifs peuvent être introduits comme solution de soustractions "impossibles" ( « 3 - 5 » par exemple ), et les fractions comme solutions de partages tout aussi "impossibles" ( 2 tartes à répartir entre 6 personnes par exemple ); de même, les nombres complexes peuvent être introduits comme solutions de la recherche de racines carrées "impossibles", par exemple celles d'un nombre négatif.

Le cas le plus simple est celui des nombres dont le carré est -1, qui vérifient donc :   x 2 = -1  , c'est-à-dire   x 2 + 1 = 0 .

Il n'existe pas de nombre réel solution de cette équation. Mais on peut imaginer quand même une solution, que l'on note « i » comme i...maginaire. Il faut remarquer que si  i  est solution de l'équation précédente,  - i  l'est aussi : ( - i ) 2 = ( -1 × i ) 2 = ( -1 ) 2 × ( i ) 2 = 1 × -1 = -1 .

Un nombre complexe z est alors la somme d'un nombre réel  x  ( partie réelle de z ) et du produit de  i  par un autre nombre réel  y  ( partie imaginaire de z ), et se note « x + i y » (notation algébrique).

Règles de calcul

On reprend les règles de calcul avec des nombres réels, avec la règle supplémentaire : <math> i^2 = -1 \,</math> .

Si   <math> z = x + iy \,</math>   et   <math> z' = x' + iy' \,</math>,   il est ainsi possible de généraliser l'addition et la multiplication des nombres réels par :

<math> z + z' = ( x + iy ) + ( x' + iy' ) = ( x + x' ) + i.( y + y' ) \,</math>

et

<math> z \times z' = ( x + iy ) \times ( x' + iy' ) = ( xx' - yy' ) + i.( xy' + x'y ) \,</math>

<math>\mathbb{C}</math> muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le corps des nombres complexes.

Présentation vectorielle cartésienne <math> z = ( x , y ) \,</math>

Il est possible d'identifier le couple ( x, y ) des coordonnées cartésiennes d'un point M du plan ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math>   au nombre complexe x + i y appelé alors affixe du point M ou du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math>, et noté « ( x, y ) » (notation vectorielle cartésienne).

L'affixe de la somme de deux vecteurs est alors la somme des affixes de ces deux vecteurs. l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire.

En fait, il existe un isomorphisme canonique entre <math>\mathbb{C}</math> muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel et le plan vectoriel réel.

( <math>\mathbb{C}</math>, +, . ) est donc un espace vectoriel de dimension deux sur <math>\mathbb{R}</math>. Cela permet de représenter <math>\mathbb{C}</math> par un plan muni de deux axes : l'axe  <math>\mathbb{R}</math> des nombres réels et l'axe  i<math>\mathbb{R}</math> des nombres imaginaires purs.

Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens concret donner à ce produit.

Bref, si   <math> z = ( x , y ) \,</math>   et   <math> z' = ( x' , y' ) \,</math>,   nous avons :

<math> z + z' = ( x , y ) + ( x' , y' ) = ( x + x' , y + y' ) \,</math>

et :   <math> z.z' = ( x , y ).( x' , y' ) = ( xx' - yy' , xy' + x'y ) \,</math>

Nous pouvons remarquer que ( 0, 1 ).( 0, 1 ) = ( -1, 0 ) = -1.   En fait, ( 0, 1 ) = i.

Présentation vectorielle polaire <math> z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta \,</math>

Introduction

Il existe d'autres systèmes de coordonnées que les coordonnées cartésiennes. Par exemple, dans le plan, nous avons aussi les coordonnées polaires ( ρ, θ ), où ρ est un nombre réel positif et θ un nombre réel compris entre 0 et 2π. ρ indique la longueur du vecteur <math> .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,</math>  , c'est-à-dire la distance du point M à l'origine O du repère, tandis que θ indique dans quelle direction se trouve le point M, c'est-à-dire donne la direction et le sens du vecteur, ou encore l'angle qu'il fait par rapport à une direction de référence, habituellement l'horizontale vers la droite, ou l'Est sur une carte de géographie.

Le nombre complexe z se note alors « ( ρ, θ ) » (notation vectorielle polaire). Pour éviter toute confusion avec la présentation vectorielle cartésienne, on peut cependant lui préférer la notation « ρ <math>\angle</math> θ ».

Règles de calcul

Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle rectangle dont OM est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de M, d'où (théorème de Pythagore) :

<math> \rho^2 = x^2 + y^2 \,</math>

D'autre part, comme θ est justement l'angle entre OM et le côté horizontal (définition trigonométrique des fonctions sinus et cosinus) :

<math> cos \theta = x / \rho \,</math>   et   <math> sin \theta = y / \rho \,</math>
On obtient ainsi les formules de passage :
  • de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
<math> \rho = \sqrt{ x^2 + y^2 } \,</math>
<math> \theta = Arctg( y / x ) \,</math>
  • et de la forme trigonométrique à la forme algébrique :
<math> x = \rho.cos \theta \,</math>
<math> y = \rho.sin \theta \,</math>

Donc, si   <math> z = \rho_\angle \theta \,</math>   et   <math> z' = \rho'_\angle \theta' \,</math>,   nous avons :

<math> z + z' = \rho_\angle ( \theta ) + \rho'_\angle ( \theta' ) \,</math>
<math> = \sqrt{ ( \rho + \rho' )^2 - 2 \rho \rho' ( 1 - cos( \theta' - \theta )) }_\angle ( Arctg( \phi ) ) \,</math>
avec :<math> \phi = ( \rho.sin \theta + \rho'.sin \theta' ) / ( \rho.cos \theta + \rho'.cos \theta' ) \,</math>
et
<math> z.z' = \rho_\angle ( \theta ) . \rho'_\angle ( \theta' ) = \rho.\rho'_\angle ( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) \,</math>

Au vu de la complexité de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.

Présentation trigonométrique <math> z = \rho . ( cos \theta + i . sin \theta ) \,</math>

Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :

<math> z = x + iy = \rho.cos \theta + i\rho.sin \theta = \rho.( cos \theta + i.sin \theta ) \,</math>

Il est possible de montrer par récurrence sur n et en utilisant les formules d'addition des sinus et des cosinus :

<math> sin( \alpha + \beta ) = sin \alpha . cos \beta + sin \beta . cos \alpha \,</math>
<math> cos( \alpha + \beta ) = cos \alpha . cos \beta - sin \alpha . sin \beta \,</math>

que :

<math> ( cos \theta + i.sin \theta )^n = cos ( n \theta ) + i.sin ( n \theta ) \,</math>   (formule de « de Moivre - Laplace »)

Présentation géométrique <math> z = \rho.e^{i\theta} \,</math>

Introduction

Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de même période 2π. Par conséquent, si on définit la fonction F de θ par :

<math> F( \theta ) = cos \theta + i.sin \theta \,</math>

F est une fonction périodique de θ, de période 2π.

La formule de de Moivre - Laplace exprimée en fonction de F donne :

<math> F^n ( \theta ) = F ( \theta^n ) \,</math>

F est donc une puissance en θ, c'est-à-dire de forme Kθ, où K reste à déterminer.

Calculons la dérivée de F. D'une part :

<math> F'( \theta) = cos' \theta + i.sin' \theta = -sin \theta + i.cos \theta = i.( cos \theta + i.sin \theta ) = i.F( \theta ) \,</math>

et d'autre part :

<math> F'( \theta ) = ( K^{\theta} )' = ( e^{ Ln( K^{\theta} ) } )' = ( e^{ \theta.Ln( K ) } )' = e^{ \theta.Ln( K ) }.( \theta.Ln( K ) )' \,</math>
ou :<math> F'( \theta ) = K^{\theta}.Ln( K ) = Ln( K ).F( \theta ) \,</math>

D'où, en rapprochant les deux expressions obtenues pour la dérivée de F :

<math> Ln( K ) = i \,</math>.

Si on veut être rigoureux, le logarithme n'est défini que pour des nombres réels. On peut étendre cette définition aux nombres complexes, mais des précautions (trop compliquées pour être détaillées ici) doivent être prises. C'est pourquoi ce qui suit n'est pas une démonstration, mais seulement une justification de l'égalité à laquelle on va aboutir.

La fonction e x , où e désigne la base des logarithmes népériens et vaut environ 2,71828..., est la fonction réciproque du logarithme népérien Ln( x ), d'où, formellement :

<math> K = e^i \,</math>.

et :

<math> F( \theta ) = K^{\theta} = ( e^{i} )^{\theta} = e^{i\theta} \,</math>

On en déduit que :

<math> cos \theta + i.sin \theta = e^{i\theta} \,</math>

Dans ces conditions : <math> z = \rho.e^{i\theta} \,</math> (notation géométrique), où ρ est le module de z et θ son argument.

Règles de calcul

Donc, si   <math> z = \rho.e^{i\theta} \,</math>   et   <math> z' = \rho'.e^{i\theta'} \,</math>,   nous avons :

<math> z + z' = \rho.e^{i\theta} + \rho'.e^{i\theta'} \,</math>
<math> = \sqrt{ ( \rho + \rho' )^2 - 2 \rho \rho' ( 1 - cos( \theta' - \theta )) }.e^{ i.Arctg( \phi ) } \,</math>
avec :<math> \phi = ( \rho.sin \theta + \rho'.sin \theta' ) / ( \rho.cos \theta + \rho'.cos \theta' ) \,</math>
et
<math> z.z' = \rho.e^{i\theta}.\rho'.e^{i\theta'} = \rho.\rho'.e^{ i.( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) } \,</math>

Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.

Présentation matricielle <math> Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \,</math>

Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme

<math> z.z' = \rho_\angle ( \theta ) . \rho'_\angle ( \theta' ) = \rho.\rho'_\angle ( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) \,</math>

Mais quel sens concret, par exemple géométrique, peut-on donner à cette formule ?

Considérons  z'   comme un vecteur. Le multiplier par un nombre réel ρ revient à lui appliquer une homothétie vectorielle de rapport ρ. La matrice d'une telle homothétie est de la forme :

<math> \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} = \rho.\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \rho I \,</math>

I est la matrice de l'application Identité (ou matrice d'une rotation d'angle nul).

Multiplier z' par un nombre complexe de module unité et d'argument θ a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle θ. La matrice d'une telle rotation est de la forme :

<math> \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} = cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = cos \theta I + sin \theta J \,</math>

J est la matrice de la rotation d'un quart de tour.

L'addition des matrices carrées d'ordre deux correspond à celle des applications linéaires planes, et la multiplication des mêmes matrices à la composition des mêmes applications.

Par conséquent, multiplier un nombre complexe  z'   par un autre nombre complexe  z  de module  ρ  et d'argument  θ  revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport ρ et d'une rotation vectorielle d'angle θ, c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle θ et de rapport ρ. La matrice d'une telle similitude est de la forme :

<math> \rho I . ( cos \theta I + sin \theta J ) = \rho cos \theta I + \rho sin \theta J = x I + y J = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} \,</math>

Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc  - I.   On vérifie que :

- la composée de deux rotations d'un demi-tour est une rotation d'un tour entier, ce qui revient à ne pas tourner, c'est-à-dire à une rotation d'angle nul. En d'autres termes :  - I 2 = I
- la composée de deux rotations d'un quart de tour donne un demi-tour, ou en d'autres termes :  J 2 = - I.

On peut ainsi identifier  I  à 1 et  J  à  i. En sens inverse, nous pouvons considérer :

  • i  comme une rotation d'un quart de tour,
  • -1   comme une rotation d'un demi-tour,
  • et 1   comme une rotation d'angle nul.

Les réels positifs sont alors les homothéties dont ils sont le rapport. Plus généralement, le nombre complexe ρ.eiθ représente la similitude d'angle θ et de rapport ρ, c'est-à-dire la composée de la rotation d'angle θ et de l'homothétie de rapport ρ.

Si on applique la similitude correspondant à Z à un vecteur d'affixe z, l'affixe du vecteur résultant est tout simplement le produit   Z . z ..

Equations polynômiales dans <math>\mathbb{C}</math>

Dans tout ce qui suit, on suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est toujours non nul.

Equation monômiales

Equations de la forme :

<math> a z^n = 0 \,</math>

0 racine évidente de multiplicité n, sauf si n = 0. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.

Equations binômiales

Equations de la forme :

<math> a z^n + b = 0 \,</math>

Si b = 0, l'équation est monômiale. Sinon, se met sous la forme dite réduite :

<math> z^n = - b / a = Z </math>

résolution en mettant les nombres sous forme géométrique et en séparant modules et arguments.

Équations à trois monômes ou plus

Il n'existe pas de méthode algébrique générale de résolution de ces équations. (On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...) Néanmoins, il existe des méthodes quand le degré de l'équation est assez faible (inférieur à 5) ou que celle-ci présente certaines régularités (c'est Évariste Galois qui a déterminé la méthode générale indiquant si une équation donnée est soluble algébriquement ("par radicaux") ou non).

Equations du second degré

Equations de la forme :

<math> a z^2 + b z + c = 0 \,</math>
  • <math> \delta =b^2-4ac= \omega ^2</math>

avec <math> \omega =\alpha +i\beta</math>

  • alors <math>(\alpha+i\beta)^2 =\alpha^2-\beta^2+2i\alpha \beta=b^2-4ac</math>
  • par identification <math>\alpha^2-\beta^2=Re(\delta)</math>
  • et <math>2\alpha \beta =Im(\delta)</math>
  • et leurs modules sont égaux <math>\alpha^2+\beta^2=|\delta|</math>
  • et de ces 3 équations on peut déduire <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>

Equations du troisième degré

Equations de la forme :

<math> a z^3 + b z^2 + c z + d = 0 \,</math>

Equations du quatrième degré

Equations de la forme :

<math> a z^4 + b z^3 + c z^2 + d z + e = 0 \,</math>

Equations polyalgébriques

C'est la généralisation des équations bicarrées. Ce sont des équations polynômiales dont les monômes sont d'ordre kp + m, avec p et m donnés et k < 5. On résout ces équations en divisant les deux membres par z m ( 0 racine évidente de multiplicité m), puis en opérant le changement de variable Z = z p . On obtient une équation en Z de degré inférieur ou égal à 4, que l'on sait résoudre.

les racines n-ième

Exemple :

<math> z^n=1</math>
<math>1=e^{2ik\pi+2k\pi}</math>
Donc <math>z_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}}</math> avec <math>k=\{0,1,2,3,...,n-1\}</math>

Article publié sur Wikimonde Plus