Suite implicite
En mathématiques, on appelle suite implicite une suite définie comme solution d'une équation de la forme <math>f_n(x) = 0</math>. À défaut de pouvoir trouver une expression explicite de la suite, on peut déterminer son comportement asymptotique.
Méthode pour étudier une suite implicite
L'étude d'une suite implicite se fait en 3 étapes :
- Trouver un encadrement de la suite.
- En déduire un équivalent : on obtient un développement asymptotique à un terme.
- Réinjecter autant de fois que nécessaire le développement de la suite dans l'équation pour augmenter le nombre de termes.
Nous allons appliquer cette méthode dans un exemple.
Un exemple de suite implicite
On note pour tout <math>n \in \mathbb N </math>, <math> x_n </math> l'unique solution positive de l'équation <math> x^n + nx - 1 = 0 </math>. On va chercher un développement asymptotique de <math> x_n </math>,.
Encadrement de la suite
Il est aisé de montrer que la fonction <math> f_n : x \mapsto x^n + nx - 1 </math> est strictement croissante sur <math>\mathbb R _+ ^*</math>. On remarque d'autre part que <math> f_n \left(\frac{1}{n} \right) > 0 </math>, et que <math> f_n \left(\frac{1}{n+1}\right) < 0 </math>.
Cela nous donne donc un encadrement de la suite : <math> \frac{1}{n+1} < x_n < \frac{1}{n} </math>
Équivalent de la suite
L'encadrement nous permet de dire que <math> x_n </math> est équivalent à <math> \frac{1}{n} </math>. Autrement dit, on obtient un développement asymptotique à un terme : <math> x_n = \frac{1}{n} + \circ \left( \frac{1}{n} \right) </math>.
Développement asymptotique à deux termes
Pour montrer le principe, on ne va réinjecter qu'une fois dans l'équation, mais la méthode peut se répéter indéfiniment, la limite étant uniquement calculatoire. Pour ne pas avoir à manipuler de symbole <math> \circ </math>, on pose <math> y_n = x_n - \frac{1}{n} </math>. On réinjecte dans l'équation : <math> x_n ^n + n\left(\frac{1}{n} + y_n\right) - 1 = 0 </math>. Après simplifications, on peut écrire : <math> y_n = - \frac{x_n ^n}{n} </math>.
De plus, <math> (n x_n)^n=\exp(n\ln(x_n)) </math> et <math> n\ln(nx_n)\sim n(nx_n-1) = -nx_n^n \to 0</math>. Ainsi, <math> \frac{x_n^n}{(1/n)^n}\to1</math>.
On en déduit donc que <math> y_n \sim - \frac{1}{n^{n+1}} </math>, cela complète ainsi le développement asymptotique de notre suite pour obtenir finalement le développement asymptotique à deux termes recherché :
Théorème — Développement asymptotique à deux termes
+ \circ \left( \frac{1}{n^{n+1}} \right) </math> }}
Articles connexes
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