Basofactorielle

La basofactorielle d'un nombre réel <math>a</math> en base <math>q</math> se note <math>a!_q</math>. C'est le produit de tous les réels strictement positifs espacés de <math>q</math> unités compris entre <math>1</math> et le plus grand multiple de <math>q</math> inférieur à <math>a - 1</math>, qui sont ensuite multipliés par <math>a</math>, soit :

Définition

Cas où <math>a-1\equiv 0 \pmod{q}</math>

<math>\forall a\in [1;+\infty[,\forall q\in \mathbb{R}_+^*</math> tels que <math>a-1 \equiv 0 \pmod{q}</math>

<math>a !_q=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times (a-q)\times a</math>

On peut aussi exprimer la fonction basofactorielle ainsi :

<math>a!_q=\displaystyle\prod_{k=0}^{\frac{a-1}{q}}(1+kq)</math>

Explication

Par hypothèse, on sait que <math>a-1\equiv 0 \pmod{q}</math> i.e. il existe un entier <math>k</math> tel que <math>a-1=kq\Longleftrightarrow a=1+kq</math> autrement dit <math>k=\dfrac{a-1}{q}</math>.

<math>a!_q=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times (a-q)\times a</math> <math> =(1+0q)(1+1q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times\left(1+\left(\dfrac{a-1}{q}-1\right)q\right)\left(1+\left(\dfrac{a-1}{q}\right)q\right)</math>

<math>a!_q=\prod_{j=0}^{j=\frac{a-1}{q}}(1+jq)</math>

 

Bases remarquables :

• Pour <math>q = 0,1</math> et <math>a=\dfrac{k}{10}</math> avec <math>k\in\mathbb{N}^*</math>, on peut établir une égalité liant basofactorielle et factorielle commune :

<math>a!_{0,1} = (10a)! \times \dfrac{10^{9 - 10a}}{9!}</math>

Ou plus généralement pour <math>q = 10^{-n}</math> et <math>a=\dfrac{k}{10^n}</math> avec <math>(k;n)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}</math> on a :

<math>a!_{10^{-n}} = (10^na)! \times \dfrac{10^{10^n-1 - 10^na}}{9!}</math>

• La fonction factorielle commune n'est en réalité qu'une fonction basofactorielle de base <math>q = 1</math>.

Généralisation

Lorsque <math>a-1</math> n'est pas divisible par <math>q</math>, la précédente formule ne suffit plus pour les cas comme

<math>2,6!_{0,7}=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6</math>

On définit donc la fonction basofactorielle en base <math>q</math> en utilisant la fonction partie entière inférieure <math>x\longmapsto \lfloor x\rfloor</math> par :

<math>a!_q=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{a-1}{q}\right\rfloor}(1+kq)\right)\times a</math>

Application de la formule

Reprenons l'exemple <math>2,6!_{0,7}</math>.

<math>2,6!_{0,7}=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{1,6}{0,7}\right\rfloor}(1+0,7k)\right)\times 2,6=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{2}(1+0,7k)\right)\times 2,6</math> <math>2,6!_{0,7}=1(1+0,7)(1+1,4)\times 2,6=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6</math>

 

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