Développement décimal périodique de l'inverse d'un nombre premier
En mathématiques, la période du développement décimal périodique d’un nombre rationnel est le cycle composé d’une séquence finie de chiffres qui se répète à l’infini.
L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ(p)
Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique
Exemple :
1/7 = 0,142857 142857 142857...
δ(7) = 6
Classement des nombres premiers
Le tableau ci-dessous propose un classement des nombres premiers en fonction de la longueur de la période de leurs inverses.
Tableau des nombres premiers dont δp <101
Longueur de la période | Nombres premiers |
---|---|
1 | 3 |
2 | 11 |
3 | 37 |
4 | 101 |
5 | 41, 271 |
6 | 7, 13 |
7 | 239, 4649 |
8 | 73, 137 |
9 | 333667 |
10 | 9091 |
11 | 21649, 513239 |
12 | 9901 |
13 | 53, 79, 265371653 |
14 | 909091 |
15 | 31, 2906161 |
16 | 17, 5882353 |
17 | 2071723, 5363222357 |
18 | 19, 52579 |
19 | 1111111111111111111 |
20 | 3541, 27961 |
21 | 43, 1933, 10838689 |
22 | 23, 4093, 8779 |
23 | 11111111111111111111111 |
24 | 99990001 |
25 | 21401, 25601, 182521213001 |
26 | 859, 1058313049 |
27 | 757, 440334654777631 |
28 | 29, 281, 121499449 |
29 | 3191, 16763, 43037, 62003, 77843839397 |
30 | 211, 241, 2161 |
31 | 2791, 6943319, 57336415063790604359 |
32 | 353, 449, 641, 1409, 69857 |
33 | 67, 1344628210313298373 |
34 | 103, 4013, 21993833369 |
35 | 71, 123551, 102598800232111471 |
36 | 999999000001 |
37 | 2028119, 247629013, 2212394296770203368013 |
38 | 909090909090909091 |
39 | 900900900900990990990991 |
40 | 1676321, 5964848081 |
41 | 83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361 |
42 | 127, 2689, 459691 |
43 | 173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641 |
44 | 89, 1052788969, 1056689261 |
45 | 238681, 4185502830133110721 |
46 | 47, 139, 2531, 549797184491917 |
47 | 35121409, 316362908763458525001406154038726382279 |
48 | 9999999900000001 |
49 | 505885997, 1976730144598190963568023014679333 |
50 | 251, 5051, 78875943472201 |
51 | 613, 210631, 52986961, 13168164561429877 |
52 | 521, 265371653, 1900381976777332243781 |
53 | 107, 1659431, 1325815267337711173, 47198858799491425660200071 |
54 | 70541929, 14175966169 |
55 | 1321, 62921, 83251631, 1300635692678058358830121 |
56 | 7841, 127522001020150503761 |
57 | 21319, 10749631, 3931123022305129377976519 |
58 | 59, 154083204930662557781201849 |
59 | 2559647034361, 4340876285657460212144534289928559826755746751 |
60 | 61, 4188901, 39526741 |
61 | 733, 4637, 329401 , 974293 , 1360682471 , 106007173861643 , 7061709990156159479 |
62 | 909090909090909090909090909091 |
63 | 10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281 |
64 | 19841, 976193, 6187457, 834427406578561 |
65 | 162503518711, 5538396997364024056286510640780600481 |
66 | 599144041, 183411838171 |
67 | 493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677 |
68 | 28559389, 1491383821, 2324557465671829 |
69 | 277, 203864078068831, 1595352086329224644348978893 |
70 | 4147571, 265212793249617641 |
71 | 241573142393627673576957439049, 45994811347886846310221728895223034301839 |
72 | 3169, 98641, 3199044596370769 |
73 | 12171337159 , 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637 |
74 | 7253, 422650073734453, 296557347313446299 |
75 | 151, 4201, 15763985553739191709164170940063151 |
76 | 722817036322379041, 1369778187490592461 |
77 | 5237, 42043, 29920507, 136614668576002329371496447555915740910181043 |
78 | 157, 6397, 216451, 388847808493 |
79 | 317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769 , 3660574762725521461527140564875080461079917 |
80 | 5070721, 19721061166646717498359681 |
81 | 163, 9397, 2462401, 676421558270641, 130654897808007778425046117 |
82 | 2670502781396266997, 3404193829806058997303 |
83 | 3367147378267 , 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477 |
84 | 226549, 4458192223320340849 |
85 | 262533041, 8119594779271, 4222100119405530170179331190291488789678081 |
86 | 57009401, 2182600451, 7306116556571817748755241 |
87 | 4003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483 |
88 | 617, 16205834846012967584927082656402106953 |
89 | 497867, 103733951 , 104984505733 , 5078554966026315671444089 , 403513310222809053284932818475878953159 |
90 | 29611, 3762091, 8985695684401 |
91 | 547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209 , 110742186470530054291318013 |
92 | 1289, 18371524594609 , 4181003300071669867932658901 |
93 | 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991 |
94 | 6299, 4855067598095567, 297262705009139006771611927 |
95 | 191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 965194617121640791456070347951751 |
96 | 97, 206209, 66554101249, 75118313082913 |
97 | 12004721, 846035731396919233767211537899097169, 109399846855370537540339266842070119107662296580348039 |
98 | 197, 5076141624365532994918781726395939035533 |
99 | 199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883 |
100 | 60101 , 7019801, 182521213001 , 14103673319201 , 1680588011350901 |
Factorisation de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1
Le principe de cette classification est lié à la factorisation de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1. En effet, soit p un nombre premier dont la longueur de période est k, l'inverse de p a pour développement décimal Argument vide ou contenant un symbole « = » à mettre entre accolades doubles. En multipliant l'égalité par 10k - 1, on obtient le développement décimal de 10k - 1p Argument vide ou contenant un symbole « = » à mettre entre accolades doubles. C'est un entier. Donc p divise 10k - 1. Comme 10k - 1 = 9 × (1 + 10 + 102 + ... + 10k-1), pour p différent de 3, p doit être un diviseur de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1.
Soit N1=1, N2=11, N3=111, ..., Nk=<math> \sum_{i=0}^{k-1}10^i </math> = 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10k-1 pour <math> k \in \N^* </math>
La factorisation de Nk peut se décomposer comme le produit de P × K × F[1] où
- P : produit des nombres premiers p dont δp=k
- K : produit des nombres premiers p dont δp est un diviseur de k
- F : produits des nombres pq ou p est un nombre premier et q un exposant >0 <math> \in \N </math> tel que :
- pq soit un diviseur de k
- k ≥ δ p × p
- ↑ calculé pour k<101
Exemple pour k=6 :
Factorisation de 111111 (1+10+102+103+104+105)
- P = 7 × 13
- K = 11 × 37
- F = 3
111111 = 7 × 13 × 11 × 37 × 3
Exemple pour k = 78 :
Factorisation de 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
- P = 157 × 6397 × 216451 × 388847808493
- K = 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991
- F = 3 × 13
Calcul des facteurs K et F
k | Diviseur de k | Equivalent en nombre premier p (δ(p) est un diviseur de k) | Coef. F |
---|---|---|---|
1 | |||
2 | |||
3 | 3 | ||
4 | 2 | 11 | |
5 | |||
6 | 2-3 | 11x37 | 3 |
7 | |||
8 | 2-4 | 11x101 | |
9 | 3 | 37 | 32 |
10 | 2-5 | 11x41x271 | |
11 | |||
12 | 2-3-4-6 | 11x37x101x7x13 | 3 |
13 | |||
14 | 2-7 | 11x239x4649 | |
15 | 3-5 | 37x41x271 | 3 |
16 | 2-4-8 | 11x101x73x137 | |
17 | |||
18 | 2-3-6-9 | 11x37x7x13x333667 | 32 |
19 | |||
20 | 2-4-5-10 | 11x101x41x271x9091 | |
21 | 3-7 | 37x239x4649 | 3 |
22 | 2-11 | 11x21649x513239 | 11 |
23 | |||
24 | 2-3-4-6-8-12 | 11x37x101x7x13 | 3 |
25 | 5 | 41x271 | |
26 | 2-13 | 11x53x79x265371653 | |
27 | 3-9 | 37x333667 | 33 |
28 | 2-4-7-14 | 11x101x239x4649x909091 | |
29 | |||
30 | 2-3-5-6-10-15 | 11x37x41x271x7x13x9091x31x2906161 | 3 |
31 | |||
32 | 2-4-8-16 | 11x101x73x137x17x5882353 | |
33 | 3-11 | 37x21649x513239 | 3 |
34 | 2-17 | 11x2071723x5363222357 | |
35 | 5-7 | 41x271x239x4649 | |
36 | 2-3-4-6-9-12-18 | 11x37x101x7x13x333667x9901x19x52579 | 32 |
37 | |||
38 | 2-19 | 11x1111111111111111111 | |
39 | 3-13 | 37x53x79x265371653 | 3 |
40 | 2-4-5-8-10-20 | 11x101x41x271x73x137x9091x3541x27961 | |
41 | |||
42 | 2-3-6-7-14-21 | 11x37x7x13x239x4649x909091x43x1933x10838689 | 3X7 |
43 | |||
44 | 2-4-11-22 | 11x101x21649x513239x23x4093x8779 | 11 |
45 | 3-5-9-15 | 37x41x271x333667x31x2906161 | 32 |
46 | 2-23 | 11x11111111111111111111111 | |
47 | |||
48 | 2-3-4-6-8-12-16-24 | 11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001 | 3 |
49 | 7 | 239x4649 | |
50 | 2-5-10-25 | 11x41x271x9091x21401x25601x182521213001 | |
51 | 3-17 | 37x2071723x5363222357 | 3 |
52 | 2-4-13-26 | 11x101x53x79x265371653x859x1058313049 | |
53 | |||
54 | 2-3-9-27 | 11x37x333667x757x440334654777631 | 33 |
55 | 5-11 | 41x271x21649x513239 | |
56 | 2-4-7-8-14-28 | 11x101x239x4649x73x137x909091x29x281x121499449 | |
57 | 3-19 | 37x1111111111111111111 | 3 |
58 | 2-29 | 11x3191x16763x43037x62003x77843839397 | |
59 | |||
60 | 2-3-4-5-6-10-12-15-20-30 | 11x37x101x41x271x7x13x9091x9901x31x2906161x3541x27961x211x241x2161 | 3 |
61 | |||
62 | 2-31 | 11x2791x6943319x57336415063790604359 | |
63 | 3-7-9-21 | 37x239x4649x333667x43x1933x10838689 | 32 |
64 | 2-4-8-16-32 | 11x101x73x137x17x5882353x353x449x641x1409x69857 | |
65 | 5-13 | 41x271x9901 | |
66 | 2-3-6-11-22-33 | 11x37x7x13x21649x513239x23x4093x8779x67x1344628210313298373 | 3X11 |
67 | |||
68 | 2-4-17-34 | 11x101x207123x5363222357x103x4013x21993833369 | |
69 | 3-23 | 37x11111111111111111111111 | 3 |
70 | 2-5-7-10-14-35 | 11x41x271x239x4649x9091x909091x71x123551x102598800232111471 | |
71 | |||
72 | 2-3-4-6-8-9-12-18-24-36 | 11x37x101x7x13x73x137x333667x9901x19x52579x99990001x999999000001 | 32 |
73 | |||
74 | 2-37 | 1x2028119x247629013x2212394296770203368013 | |
75 | 3-5-15-25 | 37X41X271X31X2906161X99990001 | 3 |
76 | 2-4-19-38 | 11x101x1111111111111111111x909090909090909091 | |
77 | 7-11 | 239x4649x21649x513239 | |
78 | 2-3-6-13-26-39 | 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991 | 3X13 |
79 | |||
80 | 2-4-5-8-10-16-20-40 | 11X101X41X271X73X137X9091X17X5882353X3541X27961X1676321X5964848081 | |
81 | 3-9-27 | 37x333667x757x440334654777631 | 34 |
82 | 2-41 | 11x83x1231x538987x201763709900322803748657942361 | |
83 | |||
84 | 2-3-4-6-7-12-14-21-28-42 | 11x37x101x7x13x239x4649x9901x909091x43x1933x10838689x29x281x121499449x127x2689x459691 | 3*7 |
85 | 5-17 | 41x271x2071723x5363222357 | |
86 | 2-43 | 11x173x1527791x1963506722254397x2140992015395526641 | |
87 | 3-29 | 37x3191x16763x43037x62003x77843839397 | 3 |
88 | 2-4-8-11-22-44 | 11x101x73x137x21649x513239x23x4093x8779x89x1052788969x1056689261 | 11 |
89 | |||
90 | 2-3-5-6-9-10-15-18-30-45 | 11x37x41x271x7x13x333667x9091x31x2906161x19x52579x211x241x2161x238681x4185502830133110721 | 3 |
91 | 7-13 | 239x4649x53x79x265371653 | |
92 | 2-4-23-46 | 11x101x11111111111111111111111x47x139x2531x549797184491917 | |
93 | 3-31 | 37x2791x6943319x57336415063790604359 | 3 |
94 | 2-47 | 11x35121409x316362908763458525001406154038726382279 | |
95 | 5-19 | 41x271x1111111111111111111 | |
96 | 2-3-4-6-8-12-16-24-32-48 | 11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001x353x449x641x1409x69857x9999999900000001 | 3 |
97 | |||
98 | 2-7-14-49 | 11x239x4649x909091x505885997x1976730144598190963568023014679333 | |
99 | 3-9-11-33 | 37x333667x21649x513239x67x1344628210313298373 | 3 |
100 | 2-4-5-10-20-25-50 | 11x101x41x251x271x9091x3541x5051x27961x21401x25601x182521213001x78875943472201 |
Références
Decimal expansion sur MathWorld.
Article publié sur Wikimonde Plus
- Arithmétique et théorie des nombres