Double produit de quaternions

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Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :

<math>P = Q_1\cdot Q_2\cdot Q_3\,</math>,

dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes <math>Q_1\mbox{ et }Q_3\,</math> sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type <math> Q = (a\ ,\ \vec V)\,</math> pour représenter les 3 quaternions :

<math>P = Q_1\cdot Q \cdot Q^{-1}_1 = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)^{-1} </math>
<math>P = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|^2} = \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|}\,</math>

.

Comme les quaternions <math>\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\vec V_1)</math> et son inverse <math>\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,-\vec V_1)</math> sont unitaires, on peut les écrire sous la forme <math>Q_1 = \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi\ \vec U \right )</math> et <math>Q^{-1}_1 = \left (cos \varphi\ , -\sin \varphi\ \vec U \right )\,</math>, d'où l'écriture :

<math>P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) </math>



En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

<math>P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>

Ainsi le quaternion <math>P\,</math> se décompose en <math>P_1 + P_2\,</math> avec :
<math>P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math> et
<math>P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>

Comme <math>(a\ ,\ \vec 0)\,</math> est un scalaire pur, le double produit représenté par <math>P_1\,</math> est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
<math>P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0)</math>.
Par conséquent, on a :
<math>P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\,</math> avec <math>P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)</math>.

Portons donc notre attention sur le quaternion <math>P_2\,</math> en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
<math>P_2 = \left[-\sin \varphi\ (\vec U\cdot \vec V), \cos \varphi\ \vec V+\sin \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\right]\cdot \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\ \vec U\right]</math>, puis :

<math>\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix} </math>

En éliminant le produit mixte <math>(\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U</math> (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel <math>(\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U</math>, on obtient : <math>P_2 = \Bigg[0 \ ,\ \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +\ \cos^2\varphi\ \vec V + 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) - sin^2\varphi\ \left[(\vec U\cdot \vec U)\ \vec V - (\vec V\cdot \vec U)\ \vec U \right]\Bigg]</math>
puis successivement :
<math>P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]</math>
<math>P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]</math>
<math>P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]</math>

Ainsi, il est établi que si le vecteur <math>\vec U\,</math> est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

<math>(\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0) + \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]</math>,

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

<math>\cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)]</math>,

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur <math>\vec V\,</math> dans la rotation <math>\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]</math> d'angle <math>2\,\varphi\,</math> et d'axe orienté <math>\vec U</math> normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante.

Conclusion

En posant finalement : <math> \alpha = 2 \, \varphi </math>, on voit donc que, dans la rotation <math>\mathbf R\left[\alpha\,\,; \vec U\right]</math> d'angle <math>\alpha\,</math> et d'axe orienté <math>\vec U</math> normé,

le transformé <math>\vec V' = \mathbf R_{\left[\alpha, \vec U\right]}(\vec V)\,</math> de tout vecteur <math>\vec V\,</math> peut être calculé :

  • soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :
<math>\left(0 \ ,\ \mathbf R_{\left[\alpha, \vec U\right]}(\vec V)\right) = (\cos \frac{\alpha}{2}, \sin \frac{\alpha}{2} \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \frac{\alpha}{2}, -\sin \frac{\alpha}{2} \ \vec U)\ \ \ \,</math>      (formule n° 1)
  • soit grâce à l'égalité vectorielle :

<math>\mathbf R_{\left[[\alpha, \vec U\right]}(\vec V) = \cos \alpha\ \vec V\ + \ (1-\cos \alpha\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin \alpha (\vec U\wedge\vec V)\ \ \ \,</math>      (formule n° 2)

Article publié sur Wikimonde Plus

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