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Nombre de Zuckerman

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Un nombre divisible par le produit de ses chiffres[1], parfois appelé nombre de Zuckerman[2],[3] (probablement en hommage à Herbert S. Zuckerman[4][réf. souhaitée]) est un entier strictement positif divisible par le produit de ses chiffres en base dix.

Par exemple :

Donc cent vingt-huit est un nombre de Zuckerman.

Exemples

  • Les nombres de 1 à 9 sont des nombres de Zuckerman puisqu'ils n'ont qu'un chiffre.
  • Les répunits, les nombres Rn = (10n – 1)/9, n > 0, qui ne s'écrivent qu'avec le chiffre 1, sont des nombres de Zuckerman ; Rn + 1 et Rn + 4, n > 0, sont aussi des nombres de Zuckerman.
  • Un nombre de Zuckerman ne contient jamais de 0.
  • Les nombres Rn-1 ( n > 0) ne sont jamais des nombres de Zuckerman: ce sont des multiples de 10.

Propriétés

  • La suite des nombres de Zuckerman est infinie puisque la suite Rn l'est.
  • La densité asymptotique de la suite des nombres de Zuckerman est égale à 0 car la densité des nombres entiers s'écrivant sans zéro la contient et est de densité asymptotique 0.
  • La série des inverses des nombres de Zuckerman est convergente. Cela résulte de la convergence de la suite des inverses des nombres entiers s'écrivant sans zéro[5]

Suite

Hormis le cas trivial des nombres à un chiffre, la suite des nombres de Zuckerman commence par 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 124, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384, 432, 612, 624, 672, 735, 816, 1111, 1112, 1113, 1115, 1116, 1131, 1176, 1184, 1197, 1212, 1296, 1311, 1332, 1344, 1416, 1575, 1715, 2112, 2144, ...[1]

Cette suite est infinie puisque la sous-suite des répunits l'est.

Notes et références

  1. 1,0 et 1,1 (en) Numbers that are divisible by the product of their digits : suite A007602 de l'OEIS.
  2. (en) James Tattersall, Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridge, Cambridge University Press, [lire en ligne], p. 86  ne les définit que dans un court exercice.
  3. zuckerman number.
  4. Arithméticien et co-auteur, entre autres, de (en) Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley & Sons, 1991, Feuilleter sur Amazon.
  5. Le Lyonnais, les nombres remarquables, page 81.

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