Paradoxe de Damyen
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{{Article importé}}). Si l'article est trop problématique, il peut être supprimé en retirant tout son texte et en expliquant le motif dans la zone « Résumé » de la page de modification.En mathématiques, et plus précisément en probabilités et en théorie de la mesure, le paradoxe de Damyen est un résultat formulé en 1967 par le mathématicien Damyen Rivaï de l'université de Karachi au Pakistan. Ce paradoxe révèle la contradiction entre l'intuition que l'on a des expériences aléatoires dans un univers (probabilités) infini et leur réalité mathématique.
Énoncé
Notons <math>\Omega=\Q\cap[0,1]</math>. Il n'existe aucune loi de probabilité <math>\mathbb{P}</math> sur <math>\Omega</math> qui vérifie la condition <math>\forall a,b\in\Omega,\mathbb{P}(\Omega\cap[a,b]) =b-a.</math>
Explication et démonstration
Le paradoxe provient du fait que la même expérience aléatoire est tout à fait possible sur l'ensemble <math>[0,1]</math>, c'est même l'application la plus directe de la Mesure de Lebesgue en probabilités.
En effet il parait naturel de se poser par exemple la question "si l'on choisit uniformément un rationnel entre 0 et 1, quelle est la probabilité qu'il soit plus grand que 1/2 ?" et la réponse la plus plausible serait une chance sur deux.
La démonstration de ce résultat est très simple et repose sur la propriété de sigma-additivité d'une mesure : Supposons qu'une telle loi de probabilité existe. On a nécessairement Pour tout x dans <math>\Omega</math> <math>\mathbb{P}({x})=0</math>
sinon la probabilité totale serait infinie (puisque la probabilité est uniforme et que donc aucun nombre ne doit être favorisé).
Or <math>\Omega</math> est dénombrable, on peut donc écrire :
<math>\mathbb{P}(\Omega) =\sum_{x\in \Omega}\mathbb{P}({a})</math>
Et cette série vaut évidemment 0. Contradiction.
Voir aussi
Bibliographie
Jordan M. Stoyanov, "Counterexamples in probability"
Articles connexes
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