Exponentielle structurellement négative
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| Découvreur ou inventeur |
Halidi MABANO ( 1993 - ) |
|---|---|
| Date de découverte |
2020 |
| Problème lié |
Exponentielle strictement négative |
| Structure des données |
Mathématique |
| Basé sur |
Fonction exponentielle et logarithme |
L'exponentielle est dite strictement négative lorsque cette fonction est définie sur <math>\R</math>, on obtient un réponse de <math>f(x)</math> appartenant dans un intervalle de nombre négatif, c'est-à-dire l'intervalle <math>I</math> égal à <math>]-\infty, 0 [</math>.
En mathématiques, dans l'exponentielle, il a toujours été admis que celle-ci est toujours strictement positive, de telle sorte que <math>\mathrm{e}^{x}<0</math>, pour tout <math>x \in R</math>.
En mathématiques, l'exponentielle a toujours été considérée comme strictement positive. Sauf dans les cas de dérivabilité où elle se présente comme une fonction strictement négative. Ainsi, cela va s'énoncer dans la question tout d'abord pour les dérivées, tel que la dérivée de <math>f(x)=\mathrm{e}^{-kx}</math>, vaut <math>f'(x)=-k\mathrm{e}^{-kx}</math>. Puis pour les primitives, telle que la primitive de <math>f(u)=\mathrm{e}^{u}</math> vaut <math>F=\frac{1}{u^{'}}\mathrm{e}^{u^{'}}</math>. Par exemple <math>f'(x)\equiv(\mathrm{e}^{-2x+1})' = -2\mathrm{e}^{-2x+1}</math> et <math>F\equiv \int \mathrm{e}^{-2x+1}= -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x+1}</math>.
C'est en 2020, qu'un scientifique du nom de Halidi Mabano, a pu imaginer une nouvelle technique partir de démonstration qui va changer totalement cette précédente domaine de définition mathématique de l'exponentielle.
Définition en mathématiques
Dans le cas de l'exponentielle strictement négative, nous allons pouvoir définir que la fonction <math>f(x)</math> de l'exponentielle notée <math>\mathrm{e}^{x}</math> qu'elle peut être strictement négative, et est noté tel que <math>\mathrm{e}^{x}>0</math>, pour tout <math>x \in R</math>. Ainsi <math>f(x)\in ]-\infty, 0 [</math>.
Démonstration
Par la méthode de l'équation d'Euler
En considérant l'équation d'Euler inventée par le mathématicien suisse Leonhard Euler, qui l'a introduite dans son article Introductio in analysin infinitorum, qui est généralement notée, <math>\mathrm{e}^{\lambda \phi}= \cos(\phi)+\lambda \sin(\phi)</math>, et qui aboutit à l'identité d'Euler : <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1</math>, et en tenant compte que cette équation est applicable dans le cas de la trigonométrie, ce qui admet l'utilisation de la table du cercle trigonométrique, ainsi, il possible de transformer cette équation en remplissant <math>\phi</math>, par les variables du tableau du cercle trigonométrique enfin de trouver de réponse de <math>f(x)</math> négative enfin d'établir le cas de l'exponentielle dit strictement négative.
Nous vérifierons une ensuite de plage d'angles en radians tel que <math>x</math> vaut de <math>\left]\frac{2\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}\right[</math>, tout en considérant que <math>i</math> est égal à <math>i=(0,1)</math>[pas clair] ou <math>\mathrm{i}^{2}=-1</math>, ainsi on va trouver d'autres identités différentes à celle d'Euler.
- Si <math>i = \lambda </math> et <math>x=\phi</math>, par conséquent, lorsque <math>i=0</math>, <math>f(\phi,\lambda )\equiv \mathrm{e}^{\lambda \phi}= \cos(\phi)+\lambda \sin(\phi)</math>,
| <math>\lambda</math> | <math>\frac{2\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{4}</math> | <math>\frac{5\pi}{6}</math> | <math>\pi</math> | <math>\frac{7\pi}{6}</math> | <math>\frac{5\pi}{4}</math> | <math>\frac{4\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{2}</math> | <math>\frac{5\pi}{3}</math> | <math>\frac{7\pi}{4}</math> | <math>\frac{11\pi}{6}</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>f(\phi,\lambda)</math> | -0,490 | -0,707 | -0,866 | -1 | -0,866 | -0,707 | -0,5 | -1,836 | 0,5 | 0,707 | 0,866 |
- Si <math>i = \lambda </math> et <math>x=\phi</math>, par conséquent, lorsque <math>i=1</math>, <math>f(\phi,\lambda )\equiv \mathrm{e}^{\lambda \phi}= \cos(\phi)+\lambda \sin(\phi)</math>,
| <math>\lambda</math> | <math>\frac{2\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{4}</math> | <math>\frac{5\pi}{6}</math> | <math>\pi</math> | <math>\frac{7\pi}{6}</math> | <math>\frac{5\pi}{4}</math> | <math>\frac{4\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{2}</math> | <math>\frac{5\pi}{3}</math> | <math>\frac{7\pi}{4}</math> | <math>\frac{11\pi}{6}</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>f(\phi,\lambda)</math> | 0,366 | 0 | - 0,366 | - 1 | - 1,366 | - 1,414 | -1,366 | -1 | - 0,366 | 0 | 0,366 |
- Si <math>i = \lambda </math> et <math>x=\phi</math>, par conséquent, lorsque <math>\mathrm{i}^{2}=-1</math>, <math>f(x,\lambda )\equiv \mathrm{e}^{\lambda \phi}= \cos(\phi)+\lambda \sin(\phi)</math>,
Il faut noter que : <math>\sqrt{i^{2}}=\sqrt{-1}=(-1)^{\frac{1}{2}}=-1</math>
| <math>\lambda</math> | <math>\frac{2\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{4}</math> | <math>\frac{5\pi}{6}</math> | <math>\pi</math> | <math>\frac{7\pi}{6}</math> | <math>\frac{5\pi}{4}</math> | <math>\frac{4\pi}{3}</math> | <math>\frac{3\pi}{2}</math> | <math>\frac{5\pi}{3}</math> | <math>\frac{7\pi}{4}</math> | <math>\frac{11\pi}{6}</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>f(\phi,\lambda)</math> | -1,366 | -1,414 | -1,366 | - 1 | -0,366 | 0 | 0,366 | 1 | 1,366 | 1,414 | 1,366 |
Démonstration sous forme d'équation polynomiale
En considérant qu'une identité notamment celle d'Euler qu'on notée <math>\mathrm{e}^{\lambda\phi}=-1</math>, est une équation polynôme, dont l'inconnue est <math>\phi</math>, ainsi par exemple, pour <math>i = \lambda </math> et <math>x=\phi</math>, lorsque <math>i=1</math>,
En partant des propriétés de la réciproque :
- (1) <math>a^{x}=\mathrm{e}^{\ln(a^{x})}</math> ou (2) <math>\ln(\mathrm{e}^{y})=y</math> et <math>\mathrm{e}^{\ln(x)}=x</math>
En injectant (1) dans (2), on obtient <math>\ln\left(\mathrm{e}^{a^{x}}\right)=a^{x}</math> et <math>\mathrm{e}^{\ln(a^{x})}=a^{x}</math>
Dans cette démonstration, sachant bien que ces deux notations donnent l'équation de départ, cela signifie que les deux sont égales.
Alors, <math>\ln\left(\mathrm{e}^{{a^{x}}}\right) = \mathrm{e}^{\ln(a^{x})}</math>
Cela implique que l'on peut aussi utiliser la notation de logarithme à place de l'exponentielle, et cela va donner la même réponse.
En effet, pour ce choix, il sera facile d'effectuer des opérations sur l'exposant dans le but de l'isoler enfin de trouver sa valeur.
Ainsi, pour l'identité d'Euler, on peut en déduire que :
<math>\mathrm{e}^{\lambda\phi}=-1 \Longleftrightarrow \ln(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\lambda\phi}})=-1 \Longleftrightarrow \ln(\mathrm{e}^{\mathrm{e}})^{\lambda\phi}=-1</math>
<math>\Longrightarrow 2\times \ln(\mathrm{e}^{\mathrm{e} \lambda \phi})=-1 \Longleftrightarrow 2\times \mathrm{e}\times \lambda\times \phi\times \ln(\mathrm{e})=-1</math>
Alors <math>\phi=\frac{- 1}{2\times \mathrm{e}\times \lambda \times \ln(\mathrm{e})}</math>
Exclusion mathématique
Il n'est pas à aucun moment conseiller de faire de calculée[style à revoir] pour trouver le résultat négatif d'une équation polynomiale en équilibrant les deux membres, car cela va induire une inégalité.
Par exemple, on équilibre les deux membres en ajoutant <math>\ln</math> des deux côtés sur l'identité de l'Euler, tout en considérant toujours que <math>i = \lambda </math> et <math>x=\phi</math>, lorsque <math>i=1</math>.
<math>\ln(\mathrm{e}^{\lambda\phi})=\ln(-1)</math>
En appliquant les propriétés du logarithme d'un nombre négatif sur le deuxième membre, cela devient :
<math>\ln(\mathrm{e}^{\lambda\phi})\neq \ln\left(\frac{1}{\ln\left(\mathrm{e}^{-1}\right)}\right)</math>
Les limites
En considérant le cas où <math>i = \lambda </math> et <math>i=1</math>.
- <math>\lim_{\phi \to + \infty} \mathrm{e}^{\lambda \phi}= + \infty</math>
- <math>\lim_{\phi \to - \infty} \mathrm{e}^{\lambda \phi}= 0</math>
- <math>\lim_{\phi \to 0} \mathrm{e}^{\lambda \phi}= 1</math>
Exemple
Considérons l'équation :
<math>f(x,k)=\mathrm{e}^{xk}</math>, où <math>k=\tan(\lambda)</math>
<math>f(x,k)=\mathrm{e}^{x\tan(\lambda)}</math>
- Sachant que <math>\mathrm{e}^{\ln(a^{x})}=\ln\left(\mathrm{e}^{a^{x}}\right)=\ln(\mathrm{e}^{a})^{x}=2\ln(\mathrm{e}^{ax})=2ax\ln(\mathrm{e})</math>
<math>f(x,k)=\ln\left(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{xtan(\lambda)}}\right)=2 \times \ln\left(\mathrm{e}^{\mathrm{e} \times x \times \tan(\lambda)}\right)=2\times \mathrm{e} \times x \times \tan(\lambda)\times \ln(\mathrm{e})</math>
- Si <math>x=\lambda</math>, alors <math>x=3</math>
<math>f(x,k)=-2.32489006649</math>
Pour l'intervalle tel que <math>x\in[1,20]</math>
| <math>x=\lambda</math> | Eq = <math>f(x,k)</math> |
|---|---|
| 1 | 8,46694623486234 |
| 2 | -23,7582166190497 |
| 3 | -2,32489006649078 |
| 4 | 25,1782764193121 |
| 5 | -91,8919251231321 |
| 6 | -9,49244210412287 |
| 7 | 33,1637770224153 |
| 8 | -295,736513399846 |
| 9 | -22,1313858801866 |
| 10 | 35,2485491113341 |
| 11 | -13512,3577609103 |
| 12 | -41,482715748625 |
| 13 | 32,7241702281983 |
| 14 | 551,400710528211 |
| 15 | -69,8049392091146 |
| 16 | 26,1505011373593 |
| 17 | 322,913211914942 |
| 18 | -111,295411110174 |
| 19 | 15,6583903273537 |
| 20 | 243,249357680976 |
Graphes
Applications
En physique
En relativité restreinte : Existence d'une énergie négative
Elle sera intégrée à la théorie de la relativité restreinte afin de confirmer avec certitude l'existence de l'énergie négative de façon théorique. Cela confortera l'idée du mathématicien et physicien britannique Paul-Adrien Maurice Dirac, qui a décrit mathématiquement l'existence probable de l'énergie négative, et qui sera mise en évidence, car l'énergie a toujours été considérée comme positive. Mais on dira plus tard qu'il s'agissait d'une prédiction de l'énergie négative, car elle sera découverte par Richard Feynman dans ses expériences de laboratoire sur les accélérateurs de particules à Manhattan pour les paires électron-positron.
Nous allons démontrer ici que la vitesse de la lumière ne doit plus être considérée comme une constante considérée comme une constante, pour finalement devenir une vitesse variable de la lumière du fait de l'exposition qui vient du changement de la notation de celui-ci. En effet la vitesse sera élevé le degré d'abord par Albert Einstein à <math>n=2</math> et qui sera <math>c^2</math>, puis suivis par Paul Dirac qui de décida d'élever l'exposant à <math>n=4</math> et que l'on notera <math>c^4</math>. Cela va changer la valeur réelle de la vitesse de la lumière <math>c > 3\cdot10^8</math>.
Le phénomène de la relativité restreinte dans sa formule générale peut être changé à une forme réversible, ce qui modifie les équations et l'interprétation d'Einstein car en changeant l'idée d'une lumière constante proposée par Albert Einstein, cela a un impact sur cette théorie ; et permettra de calculer l'existence d'une éventuelle énergie négative. En considérant qu'une masse en accélération peut produire de l'énergie négative.
<math>-\mathrm{e}=m\times c^n</math>
<math>c^n=\frac{-\mathrm{e}}{m}</math>
<math>\mathrm{e}^{\ln(c^n)}=\frac{-\mathrm{e}}{m}</math>
La 1e membre va changer pour devenir, <math>\ln\left(\mathrm{e}^{c^n}\right)<=>2\times \ln(\mathrm{e}^{c\times n})\Longleftrightarrow 2\times c \times n \times \ln(\mathrm{e})</math>
Alors l'équation devient : <math>2\times c \times n \times \ln(\mathrm{e})=\frac{-\mathrm{e}}{m}</math>
<math>n =\frac{-\mathrm{e}}{2\times m\times c }</math>
L'existence de la théorie de la croissance radioactive
Pour le phénomène de la théorie de la décroissance radioactive, qui est une loi fondamentale, car valable pour tous les types de désintégrations, qui fut proposée en 1900 par Ernest Rutherford. la notion de l'exponentielle strictement négation, va intervenir de même sa la formule en d'y apporter un modifiée et décrire théoriquement une nouvelle théorie avec un taux radioactivité croissant. Dans ce cas, sa courbe s'approchera de l'infini le long de l'axe des abscisses, comme le montre le graphique ci-dessous, sur la base des équations suivantes.
Comme phénomène inverse à celle de la théorie de la décroissance radioactive, ceci va porter un nom de la théorie de la croissance radioactive.
En appliquant celle-ci notamment sur la formule de demi-vie de temps <math>t_{1/2}</math>, qui est temps la variation du nombre de noyaux présents à un instant t qui subit une décroissance exponentielle, ainsi celle-ci va changer le sens vers une croissance.
Par la loi de décroissance radioactive, notée <math>N\left(t_{1/2}\right)=N_{0}\times \mathrm{e}^{- \lambda t_{1/2}}</math> ;
Si <math>N\left(t_{1/2}\right)>N_{0}</math>, c'est-à-dire, le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant <math>t_{1/2}</math> est supérieur au nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant initial choisi, ceci va subir une variation d'une décroissance exponentielle négative, ce qui va engendrer une croissance radioactive.
Cette condition va permettre au lois de décroissance radioactive qu'au bout d'un temps de demi-vie, en simplifiant <math>N_{0}</math>, ceci change pour devenir : <math>-\frac{1}{2}=-\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}}</math>.
Pour résoudre cela, en équilibrant les deux membres :
<math>\ln\left(-\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}}\right) \neq \ln\left(-\frac{1}{2}\right)</math>, si on applique cette égalité, selon l'exclusion mathématique de l'exponentielle strictement négative, ceci ne pourra pas être égal.
Alors, doit être résolu, tel que :
<math>\mathrm{e}^{\ln\left(-\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}}\right)}=-\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \ln\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}}}\right)=-\frac{1}{2} \Longleftrightarrow 2\lambda \mathrm{e} t_{1/2}= -\frac{1}{2}</math>
<math>t_{1/2}=-\frac{1}{4\lambda \mathrm{e}}</math>.
Références
- Belin Éducation, manuelnumeriquemax.belin.education, Loi de décroissance radioactive,, Chap 6, 144 page, consulté 2023
- Halidi Mabano, 2023, Negative properties on logarithms and exponentials which are added in mathematics
- Homeomath, Limites de fonction avec exponentielle
Article publié sur Wikimonde Plus
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