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Preuve par l'exemple

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Article principal : Exemple (mathématiques).

Une preuve par l'exemple (resp. la recherche de contre-exemple) est une forme de démonstration permettant de valider (resp. invalider) une proposition à l'aide d'exemples. Un exemple permet de démontrer un énoncé existentiel (il existe un objet ayant une certaine propriété), un contre-exemple d'invalider un énoncé universel (tous les objets considérés ont une certaine propriété). Dans certains cas particulier, et après un travail préalable, il est possible de démontrer une propriété pour un nombre infini d'objets à l'aide d'un nombre fini d'exemples.

Remarque : dans les titres qui suivent, le terme 'un cas' pourrait être remplacé par 'un exemple' si cela ne portait pas à confusion

Un cas de preuve par l'exemple d'une propriété existentielle

A démontrer : il existe des entiers multiples de 2 et 3.

Preuve par 2 exemples : il suffit de prendre n=6, n=12.

Un cas de contre-exemple pour une propriété universelle

A réfuter : pour tout entier n, n est multiple de 2 et 3.

Contre-exemple : il suffit de prendre n=5.

Un cas de preuve par l'exemple d'une propriété universelle

Le travail à produire est plus important.

A démontrer : pour tout entier n, <math>(n+1)^2</math> est égal à <math>n^2+2n+1</math>

Preuve par 3 exemples : si l'on regarde la différence <math>(n+1)^2-(n^2+2n+1)</math>, il suffit de prouver que cette différence est toujours nulle. Sans faire les calculs, cette expression peut être assimilée à une forme polynomiale en n de degré 2 maximum[réf. nécessaire]. Si elle est de degré 2 ou de degré 1, elle n'a que 2 ou 1 zéros. Or pour n=0, n=1, n=2 (3 exemples pris au hasard, l'important c'est d'avoir un exemple de plus que le degré maximum supposé), <math>(n+1)^2-(n^2+2n+1)</math> vaut zéro, cette forme polynomiale ne peut donc être de degré 2 ou 1, elle est donc de degré 0, et sa valeur est constante, elle vaut donc 0, donc <math>(n+1)^2-(n^2+2n+1)</math> est identiquement nul. CQFD.

Remarque : une preuve un peu plus poussée, en utilisant la méthode proposée par Hong[1], permet de n'utiliser qu'un seul exemple, pour cela il faut raisonner sur les valeurs possibles des coefficients de <math>(n+1)^2-(n^2+2n+1)</math> -en supposant que ce n'est pas le polynôme nul- et en déduire le rayon de la sphère où se trouvent les zéros. Alors, en prenant un exemple numérique hors de cette sphère, si la valeur de cette forme polynomiale est égale à 0, c'est que la forme polynomiale est identiquement nulle.

Notes et références

  1. Hong, J. Proving by example and gap theorems, 27th Symp. on Foundation of Computer Science, FOCS 1986, Toronto Ontario.

Voir aussi

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