Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène
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Cet article est un complément pour l'article sur l'atome d'hydrogène et la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.
On considère que les harmoniques sphériques, l'équation 1D de Leibniz-Schrodinger ainsi que l'équation radiale-réduite sont des préacquis.
Pour cet article initial sur l'atome d'hydrogène, on va vérifier directement sur l'équation radiale-réduite en :
- <math>f\left(n,l,\frac{2r}{n}\right)= f(n, l, s)</math>
et que les valeurs données par les tables mathématiques pour les couches K , L et M, sont exactes:
- <math>R(n, l, r) = \frac{S(n, l, r)}{r} = r^l . e^{\frac{-r}{n}} . P(n, l, r)</math>
( Cet article à recours aux équations pour éviter une approche purement descriptive ! ).
Couche K
Pour la couche K, on l'a déjà vu l'orbitale 1s :
<math> \psi\ (r) = R(r) = e^{-r} . N </math>,
avec N = 2 pour les couches K , L et M, sont exactes, vérifions-le :
- R(r) est bien orthonormé sur l'intervalle r > 0 ;
- l'équation radiale-réduite est automatiquement satisfaite puisque P = constante et k = 0.
Couche L
Pour la Couche L il y a 1 orbitale 2s, et 3 orbitales 2p :
Orbitales 2p (de Rydberg) :
<math> R(r) = N\cdot r\cdot e^{-\frac{r}{2}}</math>.
La normalisation conduit à <math>N = \frac{1}{2\sqrt{6}}</math>,
mais il faudra encore multiplier par <math>\frac{Y_{1,m}}{r}</math>, avec <math>m =-1,0,1</math>.
Et avec <math>E=-\frac{1}{4}</math> (<math>n=2</math>, <math>l=1</math> donc <math>k=0</math>), l'équation radiale-réduite est satisfaite, on l'a déjà vu.
Orbitale 2s : il y a 1 nœud, <math>k = 1</math>:
<math>R(r)=N\cdot\left(1-\frac{r}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{2}}</math> avec <math>N = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>.
L'équation radiale-réduite est
<math>s\cdot f + (2-s)\cdot f' + (n-1)\cdot f = 0</math>,
avec <math>f(s)= \left(1-\frac{s}{2}\right)</math> : soit <math>(2-s)(-1/2) +(n-1)(1-s/2) = 0</math>, ou encore <math>E=-\frac{1}{4}</math>.
Couche M
Couche M : 1 orbitale 3s , 3 orbitales 3p et 5 orbitales 3d :
Orbitales 3d (de Rydberg) donc
<math>R(r) = N\cdot r^2\cdot e^{-\frac{r}{3}}</math> avec <math>N = \frac{4}{81\sqrt{30}}</math>.
Il faudra multiplier par <math>\frac{Y_{2,m}}{r}</math> avec <math>m = -2,-1,0,1,2</math>.
L'énergie est <math>E(3d) = -\frac{1}{9}</math> (déjà vu f(s) = cste).
Orbitales 3p , avec 1 nœud :
<math>R(r) = N\cdot r\cdot\left(1-\frac{r}{6}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}}</math> avec <math>N = \frac{8}{27\sqrt{6}}</math>.
Il faudra multiplier par <math>\frac{Y_{1,m}}{r}</math> avec <math>m =-1,0,1</math>.
Montrer que <math>g(r)=1-\frac{r}{6}</math> vérifie <math>rg+(6-r)g'+g=0</math> est assez facile.
Finalement, l'énergie vaut bien <math>E(3p)=-\frac{1}{9}</math>.
Orbitale sphérique 3s, avec 2 nœuds :
<math>R(r) = N\cdot (r-a)(r-b)\cdot e^{-\frac{r}{3}}</math>,
et cette fois, il faut vérifier que
<math>f(3,0,s) = (s-a')(s-b') = s^2-Ss+P</math>
satisfait à
<math>sf + (2-s)f' + 2f = 0</math>,
ce qui est assez aisé : f est le Polynôme <math>s^2-6s+6</math>, soit avec <math>s=\frac{2r}{n}</math>,
<math>R(r)=N\cdot\left(r^2-9r+\frac{27}{2}\right)\cdot e^{-\frac{r}{3}}</math> : la probabilité de trouver l'électron voisin de <math>r=a</math> ou <math>r=b</math>, soit <math>\frac{3}{2}(3\pm\sqrt{3}) = \left|\begin{array}{l}7.098\\1.912\end{array}\right.</math> est nulle.
Finalement, l'énergie vaut <math>E(3d)= -\frac{1}{9}</math>.
Conclusion
L'énergie la plus basse (n=1, E = E1) correspond à 1seule orbitale 1s. Puis la couche L( n=2 E = E2 = E1/2²)correspond à 1+3 orbitales, une 2s et trois 2p. La couche M ( n=3, E = E3 = E1/3²) correspond à 1+3+5 orbitales, une 3s (avec deux nœuds en 1.9 et 7.1), trois 3p (avec un nœud en r=6) et enfin cinq 3d (sans nœud).
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
- Christian Magnan, Texte sur la théorie de Schrödinger
Article publié sur Wikimonde Plus
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