Accordage de piano Q/11

L'accordage de piano Q/11 est une méthode d'accordage de piano.

Travaillant sur le clavier classique, Serge Cordier a montré qu’un accordage de piano par quintes pures (Q/7) est beaucoup plus harmonieux que l’accordage traditionnel.

Lionel Hugon, ancien professeur de physique à l'Université de Clermont-Ferrand, propose un autre accordage baptisé par analogie Q/11, dans lequel les quintes pures sont divisées en 11 intervalles.

Gamme Z-T (Zarlino-Transposable)

Une gamme transposable est définie par deux intervalles, à condition que leurs valeurs logarithmiques ne soient pas multiples l’une de l’autre.

Par exemple, la gamme de Pythagore est définie par les deux intervalles :

octave = <math>2</math>

quinte = <math>\frac{3}{2}</math>.

On en déduit tous les autres.

Il est facile de trouver une gamme transposable qui reproduise les principaux intervalles de Zarlino. On la définit par les deux intervalles :

tierce mineure = <math>\frac{6}{5}</math>

tierce majeure = <math>\frac{5}{4}</math>.

On calcule ensuite :

<math>

1 \;\mathrm{ton} = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{10}{9} \sqrt{\frac{81}{80}}

</math>

<math>

1/2 \;\mathrm{ton} \;\mathrm{chromatique} = \frac{25}{24} </math>

<math>

1/2 \;\mathrm{ton} \;\mathrm{diatonique} = \frac{16}{15} \sqrt{\frac{81}{80}} </math>

<math>

1 \;\mathrm{quinte} = \frac{3}{2} </math>

<math>

1 \;\mathrm{quarte} = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{81}{80}} </math>

<math>

1 \;\mathrm{octave} = 2 \sqrt{\frac{81}{80}} </math> et ainsi de suite.

Les résultats obtenus sont résumés dans le schéma suivant, où les valeurs d’intervalles sont attribuées aux notes qui leur correspondent à partir de Do = 1. La quinte est pure par choix, et l'octave est légèrement plus grande que l'octave pure qui vaut 2 :

La gamme Z-T

Do	Ré	Mi	Fa	Sol	La	Si	Do
<math>1</math>	<math>\frac{10}{9}\sqrt{\frac{81}{80}}</math>	<math>\frac{5}{4}</math>	<math>\frac{4}{3}\sqrt{\frac{81}{80}}</math>	<math>\frac{3}{2}</math>	<math>\frac{5}{3}\sqrt{\frac{81}{80}}</math>	<math>\frac{15}{8}</math>	<math>2\sqrt{\frac{81}{80}}</math>

On retrouve les rapports de :

• <math>\frac{5}{4}</math>, la tierce majeure, entre Mi et Do, La et Fa, Si et Sol, respectivement;
• <math>\frac{6}{5}</math>, la tierce mineure, entre Fa et Ré, Sol et Mi, Do et La, respectivement.

Il convient de faire différentes remarques :

• les intervalles impairs de Zarlino, tierces, quintes, septièmes, neuvièmes (toutes altérations confondues) ne sont pas modifiés;
• les intervalles pairs de Zarlino, secondes, quartes, sixtes, octaves (toutes altérations confondues) sont élargis d’un demi-comma syntonique, soit :

<math>0.5 \;\mathrm{comma\;syntonique} = 0.5 \;log \frac{81}{80} = 2.6975 \;</math> savarts <math>. \qquad \#\frac{1}{18}</math>ième de ton;

• la gamme Z-T est statistiquement très voisine de la gamme primitive de Zarlino puisqu'une note sur deux se trouve déplacée de 0.5 comma syntonique seulement.

En tenant compte de toutes les notes naturelles ou altérées on calcule un écart quadratique moyen :

<math>EQM = \sqrt{\frac{\frac{1}{4 + 0}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}</math> comma syntonique, soit :

<math>EQM = 1.9074\qquad </math> savart # <math>\frac{1}{25}</math>ième de ton.

• enfin (divine surprise!), la gamme Z-T nous offre de nouveaux intervalles aussi inattendus que remarquables :

Ré = <math>\frac{10}{9} \sqrt{\frac{81}{80}} \frac{25}{24}\qquad </math> # <math>\frac{10}{9} \frac{21}{20} = \frac{7}{6} </math>

Fa = <math>\frac{4}{3} \sqrt{\frac{81}{80}} \frac{25}{24}\qquad </math> # <math>\frac{4}{3} \frac{21}{20} = \frac{7}{5} </math>

La = <math>\frac{5}{3} \sqrt{\frac{81}{80}} \frac{25}{24}\qquad </math> # <math>\frac{5}{3} \frac{21}{20} = \frac{7}{4} </math>

Fa = <math>\frac{4}{3} \sqrt{\frac{81}{80}} \frac{24}{25}\qquad </math> # <math>\frac{4}{3} \frac{27}{28} = \frac{9}{7}</math>

avec une précision de <math>\frac{1}{64}</math>ième de ton.

On calcule d’abord la moyenne des carrés des écarts pour les différentes notes (naturelles ou altérées) :

<math>M = \frac{\Delta 1^2+ \Delta 2^2+ . . . + \Delta N^2}{N}</math>

Puis la racine carrée de cette moyenne :

<math>EQM = \sqrt{M}</math> = écart quadratique moyen.

Tempérament égal représentatif

La gamme modèle Z-T étant adoptée, il faut, pour des raisons pratiques évidentes, trouver un tempérament égal qui la représente convenablement.
Il est facile de déterminer le nombre de degrés par octave et par quinte. Il suffit de calculer le rapport :

<math>\frac{log 2\sqrt{\frac{81}{80}}}{log \frac{3}{2}} = 1.725\qquad </math> # <math>\frac{19}{11} = 1.727</math>.

Prendre 19 degrés par octave et 11 degrés par quinte est un excellent choix.

On peut évidemment positionner tous les intervalles sur les degrés de ce tempérament.
Par exemple :

<math>11 \frac{log \frac{6}{5}}{log \frac{3}{2}} = 4.95\qquad </math> # 5 degrés pour la tierce mineure,

<math>11 \frac{log \frac{5}{4}}{log \frac{3}{2}} = 6.05\qquad </math> # 6 degrés pour la tierce majeure.

Il reste à optimiser le facteur d‘échelle. Si on pose :

11 degrés = 1 quinte = <math>log \frac{3}{2} + A</math>

on peut calculer les différents écarts de notes.

Par exemple :

<math>\Delta ( Mi</math><math> ) = \frac{5}{11} [log \frac{3}{2} + A ] - log \frac{6}{5}</math>

<math>\Delta ( Mi ) = \frac{6}{11} [log \frac{3}{2} + A ] - log \frac{5}{4}</math>

<math>\Delta ( Sol ) = A</math>

et ainsi de suite.

On calcule alors un écart quadratique moyen. On peut se limiter aux notes naturelles et aux altérations simples, soit 21 notes et 20 intervalles (la note de référence Do = 1 n’intervient pas).

Le calcul est fastidieux mais trivial. On obtient un minimum pour :

<math>A = 0.2421\qquad </math> savart # <math>\frac{1}{200}</math>ième de ton, de valeur :

<math>EQM/20 = 1.5493\qquad </math> savart # <math>\frac{1}{31}</math>ième de ton.

Pratiquement, on prendra A = 0 qui donne :

<math>EQM/20 = 1.5686\qquad </math> savart # <math>\frac{1}{31}</math>ième de ton (valeurs équivalentes).

La valeur de l’octave est légèrement retouchée, avec :

<math>\Delta ( </math>Do<math> ) = \frac{19}{11} log \frac{3}{2} - log 2 \sqrt{\frac{81}{80}}</math>

<math> = 0.4301\qquad </math> savart # <math>\frac{1}{110}</math>ième de ton.

Le tempérament ainsi défini sera désigné par le symbole :

Q/11 (en onzièmes de quinte pure).

Il est bon d’avoir une vue d’ensemble de Q/11. La table ci-dessous montre les 19 degrés de l'octave, les notes alignées verticalement étant une seule et même note :

Notes naturelles ou simplement altérées	Do	Do	Ré	Ré	Ré	Mi	Mi	Mi Fa	Fa	Fa	Sol	Sol	Sol	La	La	La	Si	Si	Si Do	Do
Notes doublement altérées	Si	Ré	Do		Mi	Ré	Fa		Mi	Sol	Fa		La	Sol		Si	La	Do		Si

Chaque degré vaut <math>\frac{1}{11} log \frac{3}{2} = 16.0083</math> soit 16 savarts, et correspond à un intervalle très voisin de <math>\frac{83}{80}</math>.

Retour aux sources

La véritable justification d’un tempérament ne peut être que physique. Il faut rappeler que l’accord entre deux sons harmoniques correspond physiquement à la suppression des battements entre un harmonique <math>k1 N1</math> de l’un et un harmonique <math>k2 N2</math> de l’autre.

Le rapport des fréquences fondamentales <math>\frac{N2}{N1} = \frac{k1}{k2}</math> doit donc être un nombre rationnel. Naturellement, l’accord est d’autant plus sensible que les harmoniques sont de plus grande amplitude, ce qui signifie que les ordres <math>k1</math> et <math>k2</math> doivent être des entiers de faibles valeurs.

Les meilleurs accords correspondent donc aux nombres rationnels^{[Interprétation personnelle ?]} <math>\frac{N}{D}</math> les plus simples, tels que <math>1 < \frac{N}{D} < 2</math> , avec la condition <math>N + D < 15</math> (par exemple).

On trouve alors, par ordre de valeurs :

<math>

\frac{7}{6} \qquad \frac{6}{5} \qquad \frac{5}{4} \qquad \frac{4}{3} \qquad \frac{7}{5} \qquad \frac{3}{2} \qquad \frac{8}{5} \qquad \frac{5}{3} \qquad \frac{7}{4} \qquad \frac{9}{5} </math>

Un bon tempérament devrait permettre de réaliser approximativement les intervalles correspondant à ces rapports^{[Interprétation personnelle ?]}. Considérons le tempérament Q/11. On peut calculer les écarts :

<math>

\frac{4}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{7}{6} , \qquad \frac{5}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{6}{5} , \qquad \frac{6}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{5}{4}, </math>

<math>

\frac{8}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{4}{3} , \qquad \frac{9}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{7}{5} , \qquad \frac{13}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{8}{5}, </math>

<math>

\frac{14}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{5}{3} , \qquad \frac{15}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{7}{4} , \qquad \frac{16}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{9}{5}, </math> auxquels il faut ajouter l’écart de la quinte, qui est nul.

On trouve finalement un écart quadratique moyen :

<math>EQM/10 = 2.3290\qquad </math> savarts # <math>\frac{1}{21}</math>ième de ton.

Un tel alignement est absolument confondant^{[Interprétation personnelle ?]}.

Un nouveau clavier

Il est facile d’obtenir le tempérament Q/11 en disposant des frettes sur le manche d’une guitare, mais la fabrication d’un nouveau piano acoustique est pratiquement inconcevable. Le piano du futur sera un instrument à clavier électronique. Il produira des sons harmoniques (donc meilleurs que les sons du piano actuel), et on pourra privilégier certains d‘entre eux (entre autres, les harmoniques impairs).

Il ne faut pas craindre une dérive iconoclaste^{[Interprétation personnelle ?]}. Au contraire : le nouveau tempérament fournit des quintes pures et des tierces presque pures, puisque :

<math>\frac{5}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{6}{5} = + 0.860\qquad </math> savart # <math>+ \frac{1}{56}</math>ième de ton,

<math>\frac{6}{11} log \frac{3}{2} - log \frac{5}{4} = - 0.860\qquad </math> savart # <math>- \frac{1}{56}</math>ième de ton.

Le vieux problème des tempéraments inégaux est donc résolu et il devrait être possible de renouer avec la musique ancienne^{[Interprétation personnelle ?]}.

Par ailleurs, un clavier électronique offrira différentes facilités (réglage du diapason, choix du timbre, etc) qui ne sont pas sans intérêt.
Pour la réalisation physique d’un tel clavier, on a le choix entre de nombreux schémas, en commençant par des claviers à boutons... Mais un piano n’est pas un accordéon!
Le plus sage est de se rapprocher autant que possible du schéma classique à douze notes par octave sur deux niveaux.

Malheureusement, Q/11 nous impose trois niveaux distincts :

• 1 niveau pour les notes naturelles,
• 1 niveau pour les altérations simples ou ,
• 1 niveau pour les altérations doubles ou .

Cette présentation n’est pas inédite. Elle rappelle certains instruments anciens à « feintes brisées » et surtout les orgues actuels à claviers superposés^{[réf. nécessaire]}.

Les schémas suivants représentent :

• 1 clavier à 3 niveaux : notes naturelles, et , destiné aux armatures avec dièses;
• 1 clavier à 3 niveaux : notes naturelles, et , destiné aux armatures avec bémols.

Il convient de bien remarquer la présence de deux touches d’altération blanches, au second niveau, pour les couples de notes jumelles E=F et B=C.
Les touches colorées occupent les niveaux 2 ou 3. Il suffit d’échanger ces niveaux pour passer d’un clavier à l’autre.

Clavier pour armatures avec dièses

Remarque : D=C E=D F=E G=F A=G B=A C=B

Clavier Q/11 pour doubles dièses

Clavier pour armatures avec bémols

Remarque : C=D D=E E=F F=G G=A A=B B=C

Clavier Q/11 pour doubles bémols

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